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2024-05-02T10:23:16Z

Grammatik

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Der '''Satz von Radon''' (auch als '''Lemma von Radon''' bezeichnet<ref>Vgl. ersten Weblink</ref>) ist ein [[Lehrsatz]] der [[Konvexgeometrie]], welcher auf den österreichischen Mathematiker [[Johann Radon]] zurückgeht. Der Satz steht in unmittelbarem Zusammenhang mit dem [[Satz von Helly]] und ist über diesen mit anderen klassischen Sätzen der Konvexgeometrie verknüpft.<ref>Klee: S. 101 ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:<ref>Brøndsted: S. 15</ref><ref>Gruber: S. 46 ff.</ref><ref>Klee: S. 103</ref>

: ''Gegeben seien eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> und dazu ein <math>n</math>-[[Hamel-Dimension|dimensionaler]], [[Körper der reellen Zahlen|reeller]] [[Vektorraum]] <math>V</math> sowie eine [[Teilmenge]] <math>A</math> von <math>V</math>, welche aus mindestens <math>n+2</math> Elementen bestehen soll.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>A</math> kann derart in zwei [[disjunkt]]e Teilmengen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> [[Partition (Mengenlehre)|zerlegt]] werden, dass deren [[konvexe Hülle]]n <math>\operatorname{conv} A_1</math> und <math>\operatorname{conv} A_2</math> sich in mindestens einem Punkte [[Schnittmenge|schneiden]].''

== Historisches ==
Johann Radon formulierte und bewies den Satz 1921. Er hat aus ihm dann den [[Satz von Helly]] hergeleitet, welchen Eduard Helly bereits im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon später mitgeteilt hatte.<ref>Radon: S. 113</ref><ref>Klee: S. 101</ref><ref>Lay: S. 47</ref>

== Abgrenzung ==
Auf Johann Radon geht auch ein weiterer wichtiger Satz der Mathematik zurück, nämlich der [[Satz von Radon-Nikodým]], welcher jedoch nicht der Konvexgeometrie zugerechnet wird, sondern der [[Maßtheorie]].

== Verallgemeinerung ==
Der '''Satz von Radon''' wurde von [[Helge Tverberg]] im Jahre 1966 zum [[Satz von Tverberg]] verallgemeinert.<ref>Siehe auch zweiten Weblink!</ref>

== Literatur ==
=== Originalarbeiten ===
* {{Literatur
|Autor=Johann Radon
|Titel=Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen|Math. Ann]]
|Band=83
|Datum=1921
|Seiten=113–115}}

=== Monographien ===
* {{Literatur
|Autor=Arne Brøndsted
|Titel=An introduction to convex polytopes
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York u. a.
|Datum=1983
|ISBN=0-387-90722-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Peter M. Gruber]]
|Titel=Convex and Discrete Geometrie
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-71132-2}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Victor L. Klee]]
|Titel=Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13–15, 1961
|Verlag=[[American Mathematical Society]]
|Ort=Providence, RI
|Datum=1963}}
* {{Literatur
|Autor=Steven R. Lay
|Titel=Convex sets and their applications
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=New York u. a.
|Datum=1982
|ISBN=0-471-09584-2}}

== Weblinks ==
* Ivan Izmestiev: [https://web.archive.org/web/20160304193127/http://page.mi.fu-berlin.de/izmestiev/Teaching/ConvGeom.pdf ''Einführung in die Konvexgeometrie.''] (PDF; 548 kB) FU Berlin, WS 03/04 (Skript)
* [[Günter M. Ziegler]]: [http://www.math.tu-berlin.de/~mdmv/archive/18/mdmv-18-3-164.pdf ''3N bunte Punkte in der Ebene (Über Birchs Vermutung und dem Satz von Tverberg)''.] (PDF; 302 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Konvexgeometrie)|Radon, Satz von]]

Satz von Radon - Versionsgeschichte

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