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[[Datei:Pappus-proj.svg|300px|mini|Satz von Pappos: projektive Form]]

Der '''Satz von Pappos (Pappus)''', gelegentlich auch '''Satz von Pappos-Pascal''' genannt, ist ein zentraler Satz in der [[Affine Geometrie|affinen]] und [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]].<ref>Strenggenommen müsste er heute als „Axiom“ bezeichnet werden, da er zwar in der reellen Geometrie stets gilt, aber in den heute als „affin“ bzw. „projektiv“ bezeichneten Geometrien nur genau dann, wenn die betrachtete Geometrie durch einen Körper koordinatisiert werden kann. {{Literatur |Autor=[[Heinz Lüneburg]] |Titel=Die euklidische Ebene und ihre Verwandten |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel/Boston/Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-7643-5685-5 |Kapitel=III: Papossche Ebenen}}</ref> Er tauchte erstmals als [[Satz (Mathematik)|Proposition]] 139 im VII. Buch der ''Mathematischen Sammlungen'' des antiken griechischen Mathematikers [[Pappos|Pappos von Alexandria]] auf.<ref>{{Literatur |Autor=[[Carl Immanuel Gerhardt]] |Titel=Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch in 2 Bänden |Verlag=H. W. Schmidt |Ort=Halle / Eisleben |Datum= |Kommentar=1871, 1875}}</ref> [[Blaise Pascal]] fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten [[Satz von Pascal]], bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem [[Kegelschnitt]] liegen.

Der Satz lautet in seiner allgemeineren ''projektiven Form:''

Liegen sechs Punkte <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 </math> einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math>, so sind die Punkte
: <math>P_7:= P_1P_2 \cap P_4P_5, </math>
: <math>P_8:= P_6P_1 \cap P_3P_4, </math>
: <math>P_9:= P_2P_3 \cap P_5P_6 </math>
[[Kollineare Punkte|kollinear]], d. h., sie liegen auf einer Geraden <math>u</math> (siehe Bild).

[[Datei:Pappus-aff.svg|300px|mini|Satz von Pappos: affine Form]]
Sind die beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> durch die Sechseckpunkte und die Gerade <math>u</math> [[Kopunktalität|kopunktal]], so spricht man auch vom '''kleinen Satz von Pappos'''.

Da sich zwei Geraden in einer [[Affine Ebene|affinen Ebene]] nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren '''affinen Form''' formuliert:

Liegen sechs Punkte <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 </math> einer ''affinen Ebene'' abwechselnd auf zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> und sind sowohl das
: Geradenpaar <math>P_1P_2, P_4P_5 </math> als auch das
: Geradenpaar <math>P_2P_3, P_5P_6</math> parallel,
so sind auch <math> P_3P_4</math> und <math> P_6P_1</math> parallel (s. Bild).

Im [[Projektive Ebene#Zusammenhang mit affinen Ebenen|projektiven Abschluss]] der zugrunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die drei parallelen Geradenpaare auf der [[Fernelement|uneigentlichen Geraden]] <math>u</math>, und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.

== Beweis des Satzes in einer affinen Ebene über einem Körper ==
[[Datei:Pappus-proof.svg|mini|Satz von Pappos: Beweis]]
Wegen der Parallelität in einer affinen Ebene muss man zwei Fälle unterscheiden, je nachdem, ob die Geraden <math>g,h</math> sich schneiden oder nicht. Der Schlüssel zu einem einfachen Beweis ist die immer mögliche geeignete Koordinatisierung der affinen Ebene. Denn in einem 2-dimensionalen [[Vektorraum]] kann man den Nullpunkt und zwei ([[linear unabhängig]]e) Basisvektoren frei wählen.

'''Fall 1:''' Die beiden Geraden <math>g,h</math> schneiden sich und es sei <math>Z=g\cap h</math>.<br />
In diesem Fall lassen sich Koordinaten so einführen, dass <math>Z=(0,0), \; P_1=(0,1), \;P_6=(1,0)</math> ist (s. Bild). Die Punkte <math>P_5,P_3</math> haben dann Koordinaten <math>P_5=(0,c), P_3=(0,d), \; c,d \notin \{0,1\}</math>. Da die Geraden <math>P_5P_6 ,\; P_3P_2</math> parallel sind, gilt <math>P_2=(\tfrac{d}{c},0)</math>. Aus der Parallelität der Geraden <math>P_1P_2, P_5P_4</math> folgt dann, dass <math>P_4=(d,0)</math> sein muss. Also hat die Gerade <math>P_3P_4</math> die Steigung <math>-1</math> und ist damit parallel zu <math>P_1P_6</math>.

'''Fall 2:''' <math>g\parallel h</math>.<br />
In diesem Fall werden die Koordinaten so gewählt, dass <math>P_6=(0,0), P_2=(1,0), P_1=(0,1), P_5=(c,1),c\ne 0</math> ist. Aus den Parallelitäten <math>P_1P_2\parallel P_5P_4</math> und <math> P_6P_5\parallel P_2P_3</math> folgt <math>P_3=(c+1,1)</math> und <math> P_4=(c+1,0)</math> und damit die Parallelität <math>P_1P_6\parallel P_3P_4</math>.

== Dualer Satz von Pappos ==
Aufgrund des [[Dualität (Projektive Geometrie)|Dualitätsprinzips]] für projektive Ebenen gilt auch der '''duale Satz von Pappos''':
<gallery widths="250" heights="250" class="float-right">
Pappus-dual-proj.svg|Dualer Satz von Pappos: projektive Form
Pappus-dual-aff.svg|Dualer Satz von Pappos: affine Form
</gallery>
Gehören sechs Geraden <math>p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6 </math> einer projektiven Ebene abwechselnd zwei Geradenbüschel durch zwei Punkte <math>G,H</math> an, so sind die Geraden
: <math> p_7:= (p_1\cap p_2) (p_4\cap p_5), </math>
: <math> p_8:= (p_6\cap p_1) (p_3\cap p_4), </math>
: <math> p_9:= (p_2\cap p_3) (p_5\cap p_6)</math>
kopunktal, d. h., sie gehen durch einen gemeinsamen Punkt <math>U</math>.
Das linke Bild zeigt die projektive Version, das rechte Bild eine affine Version, bei der die Punkte <math>G,H</math> auf der Ferngeraden liegen.

<gallery widths="250" heights="250" class="float-right">
Thomsen-kl-d-pap.svg|''Thomsen-Figur'' (Punkte <math>\color{red} 1,2,3,4,5,6 </math> im Dreieck <math>ABC</math>) als dualer Satz des kleinen Satzes von Pappos (<math>U</math> ist auch Fernpunkt!).
Thomsen-beweis.svg|Thomsen-Figur: Beweis
</gallery>

Ist in der affinen Version des dualen Satzes von Pappos Punkt <math>U</math> auch ein Fernpunkt, so entsteht die duale Aussage des ''kleinen'' Satzes von Pappos, die mit dem [[Satz von Thomsen]] aus der elementaren Dreiecksgeometrie identisch ist. Die Thomsen-Figur spielt bei der Koordinatisierung einer axiomatisch definierten projektiven Ebene eine wesentliche Rolle.<ref> W. Blaschke: ''Projektive Geometrie'', Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320, S. 190.</ref> Der Beweis für das Schließen der Thomsen-Figur folgt aus dem obigen Beweis des kleinen Satzes von Pappus. Der ''direkte Beweis'' ist aber auch sehr einfach:

Da die Formulierung des Schließungssatzes von Thomsen nur die Begriffe ''Verbinden, Schneiden'' und ''parallel'' verwendet, ist der Satz ''[[Affine Abbildung|affin]] invariant'' und man kann zum Beweis annehmen, dass <math>A=(0,0), \; B=(1,0), \; C=(0,1)</math> gilt (siehe Bild). Der Startpunkt für den Streckenzug ist der Punkt <math>(0,\lambda)</math>. Man rechnet leicht die Koordinaten der restlichen Punkte aus und erkennt, dass der 7. Punkt wieder der Anfangspunkt ist.

== Bedeutung: Pappossche Ebenen {{Anker|Bedeutung}} ==
Der Satz von Pappos gilt nicht in jeder projektiven Ebene. Er gilt nur in solchen Ebenen, die sich mit Hilfe eines (kommutativen) Körpers [[Projektive Ebene#Koordinatisierung|koordinatisieren]] lassen. Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit des Satzes von Pappos die Koordinatisierbarkeit der Ebene mit einem Koordinatenkörper. Solche Ebenen, affin oder projektiv, sind also durch den Satz von Pappos gekennzeichnet und heißen '''pappossche Ebenen'''.<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinz Lüneburg]] |Titel=Die euklidische Ebene und ihre Verwandten |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel/Boston/Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-7643-5685-5 |Kapitel=III: Papossche Ebenen}} Definition 1.1, häufig findet sich auch die Schreibweise '''pappussche Ebene'''.</ref>

Für einen Überblick über affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Pappos oder schwächere Schließungssätze allgemein gelten, und die Folgerungen, die sich damit jeweils für die [[algebraische Struktur]] des Koordinatenbereiches ergeben, siehe die Artikel „[[Ternärkörper]]“ und „[[Klassifikation projektiver Ebenen]]“.

== Der projektive Satz von Pappos als Axiom und äquivalente Aussagen ==
Wie schon im Abschnitt [[#Bedeutung|Bedeutung]] erläutert, ist der projektive Satz von Pappos ''[[Axiom#Abgrenzungen|unabhängig]]'' von den Inzidenzaxiomen einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]], daher wird er bzw. zu ihm (auf Grundlage der Inzidenzaxiome) gleichwertige Aussagen auch als ein ''[[Axiom]]'', hier abgekürzt als (PA), bezeichnet. Dieses Axiom ist auch unabhängig vom [[Fano-Axiom]], hier kurz (FA), denn es existieren
* projektive Ebenen <math>\mathbb{P}^2(K)</math> über jedem kommutativen Körper <math>K</math> mit einer von 2 verschiedenen [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]. Sie erfüllen (FA) und (PA),
* projektiven Ebenen <math>\mathbb{P}^2(K)</math> über jedem kommutativen Körper <math>K</math> mit Charakteristik 2. Sie erfüllen (FA) nie, aber stets (PA),
* projektive Ebenen <math>\mathbb{P}^2(S)</math>, die nicht pappossch sind und auch nicht (FA) erfüllen, da es nichtkommutative [[Schiefkörper]] <math>S</math> mit der Charakteristik <math>p</math> zu jeder [[Primzahl]] <math>p</math>, also auch solche mit der Charakteristik 2 gibt,<ref name="KadisonNonComm">Kadison und Kromann (1996): 7.3: ''A Noncommutative Division Ring with Characteristic p''.</ref>
* projektive Ebenen <math>\mathbb{P}^2(S)</math>, die nicht pappossch sind, aber (FA) erfüllen, da es zu jeder ungeraden Primzahlcharakteristik <math>p</math> und zur Charakteristik 0 je wenigstens einen nichtkommutativen Schiefkörper gibt.<ref name="KadisonNonComm" />

→ Vergleiche dazu auch den Satz von Gleason und den Satz von Hanna Neumann in [[Fano-Axiom#AntiFano]].

Folgende synthetische und analytische Aussagen über eine projektive Ebene <math>\mathbb{P}</math> sind äquivalent:
# <math>\mathbb{P}</math> ist pappossch.
# <math>\mathbb{P}</math> ist desarguessch und der Koordinaten[[schiefkörper]] von <math>\mathbb{P}</math> ist kommutativ.<ref name="LBHessenberg" />
# ''Einer der'' oder gleichwertig ''jeder'' Koordinaten[[ternärkörper]] von <math>\mathbb{P}</math> ist zu einem kommutativen Körper isomorph.<ref name="Lenz">{{Literatur |Autor=[[Hanfried Lenz]] |Titel=Vorlesungen über projektive Geometrie |Verlag=Akad. Verlag |Ort=Leipzig |Datum=1965}}</ref>
# Es existiert eine Gerade <math>g</math> in <math>\mathbb{P}</math>, so dass die [[affine Ebene]] <math>A=\mathbb{P}\setminus g</math> den affinen Satz von Pappos erfüllt.<ref name="Lenz" />
# Die vorige Aussage gilt für ''jede'' Gerade der Ebene.<ref name="Lenz" />

=== {{Anker|Satz von Hessenberg}} Zusammenhang mit dem Satz von Desargues: Satz von Hessenberg ===
Als '''Satz von Hessenberg''' wird in der projektiven Geometrie die Aussage
: ''In einer projektiven Ebene, in der der Satz von Pappos allgemeingültig ist, ist auch der [[Satz von Desargues]] allgemeingültig.''

bezeichnet. Dieser Satz wurde von [[Gerhard Hessenberg]], nach dem er benannt ist, 1905<ref>{{Literatur |Autor=Lars Kadison, Matthias T. Kromann |Titel=Projective Geometry and Modern Algebra |Verlag=Birkhäuser |Ort=Boston/Basel/Berlin |Datum=1996 |ISBN=3-7643-3900-4}} 6.3. ''Pappus’ theorem''.</ref> (lückenhaft)<ref name="LBHessenberg">{{Literatur |Autor=[[Heinz Lüneburg]] |Titel=Die euklidische Ebene und ihre Verwandten |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel/Boston/Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-7643-5685-5 |Kapitel=III.1}} – ''Der Satz von Hessenberg''.</ref> bewiesen. Er ist von fundamentaler Bedeutung für die [[synthetische Geometrie]]. Ein vollständiger Beweis (über verschiedene Hilfssätze) findet sich im Lehrbuch von Lüneburg.<ref name="LBHessenberg" />

Das heißt: Aus dem ''Axiom'' von Pappos (PA) folgt das ''Axiom'' von Desargues. Dass die Umkehrung im Allgemeinen (genauer: für ''un''endliche projektive Ebenen) falsch ist, ist durch die Existenz von projektiven Ebenen über nichtkommutativen Schiefkörpern erwiesen.

'''Folgerung für endliche Ebenen aus dem Satz von Hessenberg'''<br />
Mit dem [[Satz von Wedderburn]] folgt, dass für ''endliche'' projektive oder affine Ebenen der Satz von Pappos und der Satz von Desargues ''äquivalent'' sind.

== Literatur ==
'''Zur Geschichte des Satzes von Pappos'''
* {{Literatur
|Autor=[[Harold Scott MacDonald Coxeter]] mit S. L. Greitzer
|Titel=Zeitlose Geometrie
|Verlag=Klett
|Ort=Stuttgart
|Datum=1983
|ISBN=3-12-983390-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Carl Immanuel Gerhardt]]
|Titel=Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch in 2 Bänden
|Verlag=H. W. Schmidt
|Ort=Halle / Eisleben
|Datum=
|Kommentar=1871, 1875}}
* {{Literatur
|Autor=Thomas Heath
|Titel=A History of Greek Mathematics
|Verlag=Dover
|Ort=New York
|Datum=1981
|JahrEA=1921}}

'''Lehrbücher'''
* {{Literatur
|Autor=Harold Scott MacDonald Coxeter
|Titel=Introduction to Geometry
|Auflage=2
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=New York
|Datum=1969
|ISBN=978-0-471-50458-0}}
* {{Literatur
|Autor=Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg
|Titel=Einführung in die Geometrie
|Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht
|Ort=Göttingen
|Datum=1973
|ISBN=3-525-03406-7}}
* {{Literatur
|Autor=Lars Kadison, Matthias T. Kromann
|Titel=Projective Geometry and Modern Algebra
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Boston/Basel/Berlin
|Datum=1996
|ISBN=3-7643-3900-4
|Kommentar=Formuliert und beweist einfache Transitivitätseigenschaften der projektiven Gruppe, die zum Satz von Pappos äquivalent sind; Abhängigkeiten zwischen den 3 Axiomen: Fano, Desargues und Pappos
|Online=[http://d-nb.info/946659648/04 Inhaltsverzeichnis] |Format=PDF |KBytes=67
|Abruf=2013-08-06}}
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz Lüneburg]]
|Titel=Die euklidische Ebene und ihre Verwandten
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Basel/Boston/Berlin
|Datum=1999
|ISBN=3-7643-5685-5
|Kapitel=III: Papossche Ebenen
|Kommentar=Ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg, Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt
|Online=[http://books.google.de/books?isbn=3764356855 Leseprobe] books.google.de
|Abruf=2013-07-30}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hanfried Lenz]]
|Titel=Vorlesungen über projektive Geometrie
|Verlag=Akad. Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=1965}}
* {{Literatur
|Autor=[[Rolf Lingenberg]]
|Titel=Grundlagen der Geometrie I
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim
|Datum=1969}}

== Weblinks ==
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie'', Kurzskript, Uni Darmstadt] (PDF; 180 kB)
* Siegfried Krauter: [http://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/Endl_Geom_Skript_Original.pdf ''Einführung in die Endliche Geometrie''.] (PDF) PH Ludwigsburg, Skript
* [https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/WS0809/GeometrieKalkueleWS0809/ch1.pdf Pappus’s Theorem: Nine proofs and three variations]

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Pappos, Satz von]]
[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
[[Kategorie:Satz (Synthetische Geometrie)|Pappos, Satz von]]

Satz von Pappos - Versionsgeschichte

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