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2026-04-09T06:31:27Z

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Der '''Satz von Minkowski''' (nach [[Hermann Minkowski]]) ist ein mathematischer Satz, der sich mit gewissen geometrischen Gebilden und ihren äußersten Randpunkten beschäftigt.
Genauer stammt er aus der Theorie der [[konvexe Menge|konvexen Mengen]] in endlichdimensionalen Räumen und stellt eine Beziehung zwischen einer [[kompakter Raum|kompakten]] [[konvexe Menge|konvexen Menge]] und ihren [[Extremalpunkt]]en her. (Dieser Satz ist nicht mit dem [[Minkowskischer_Gitterpunktsatz|Minkowskischen Gitterpunktsatz]] zu verwechseln.)

== Formulierung des Satzes ==
Für eine kompakte, konvexe Menge <math>C\subset \R^d</math> und eine Teilmenge <math>M\subset C</math> sind folgende Aussagen äquivalent<ref>Arne Brøndsted: ''An Introduction to Convex Polytopes'', Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Th. 5.10</ref>:
* <math>C</math> ist die [[konvexe Hülle]] von <math>M</math>.
* Die Extremalpunkte von <math>C</math> sind in <math>M</math> enthalten.

Insbesondere ist in einem endlichdimensionalen Raum eine kompakte, konvexe Menge gleich der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte. Auch diese Aussage wird oft ''Satz von Minkowski'' genannt.

== Satz von Carathéodory ==
Der Mathematiker [[Constantin Carathéodory]] hat im Jahre 1911 den folgenden bekannten [[Lehrsatz]] bewiesen:<ref>{{Literatur|Autor=C. Carathéodory|Titel=Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen|Sammelwerk=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo|Band=32|Datum=1911|Seiten=193–217}}</ref><ref>Arne Brøndsted: ''An Introduction to Convex Polytopes'', Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Cor. 2.4</ref><ref name="WAC_01">W. A. Coppel: ''Foundations of Convex Geometry.'' 1998, S. 67</ref>

(1) Ist (für zwei gegebene [[natürliche Zahl]]en <math>n</math> und <math>d</math> mit <math>n \leq d</math>) im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^d</math> eine [[Teilmenge]] <math>M \subset \R^d</math> gegeben und ist diese in einem n-dimensionalen [[affiner Raum|affinen Unterraum]] von <math>\R^d</math> enthalten, so ist die [[konvexe Hülle]] von <math>M</math> gleich der Menge aller [[Konvexkombination]]en, die aus maximal <math>n+1</math> Elementen von <math>M</math> gebildet werden. Formal ausgedrückt gilt also:
::<math>\operatorname{conv} {M} = \bigcup_{T \subseteq M \; , \; |T| \leq n+1} {\operatorname{conv} {T} }</math>.

Kombiniert man dies mit dem Satz von Minkowski, so erhält man:

(2) Jeder Punkt einer [[Kompakte Teilmenge|kompakten]], konvexen Teilmenge <math>C\subset \R^d</math>, die in einem n-dimensionalen affinen Unterraum enthalten ist, ist eine Konvexkombination von höchstens <math>n+1</math> Extremalpunkten.

Da man stets <math>\R^d</math> als affinen Unterraum wählen kann, erhält man eine Aussage, die manchmal auch als ''Satz von Minkowski'' bezeichnet wird:

(3) Jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge <math>C\subset \R^d</math> ist eine Konvexkombination von höchstens <math>d+1</math> Extremalpunkten.

=== Verallgemeinerung des Satzes von Carathéodory ===
Im Jahre 1982 stellte der [[Ungarn|ungarische]] Mathematiker [[Imre Bárány]] eine Verallgemeinerung des Carathéodory’schen Satzes vor, den man als ''Satz von Bárány'' ({{enS|''Bárány's Theorem''}}) bezeichnen kann und der folgendes besagt:<ref>{{Literatur|Autor=Imre Bárány|Titel=A generalization of Carathéodory's theorem|Sammelwerk=Discrete Mathematics|Band=40|Datum=1982|Seiten=141–152|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=B%C3%A1r%C3%A1ny%2C%20Imre&s5=Discrete%20Math.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=676720 MR0676720]}}</ref><ref name="WAC_02">Coppel, op. cit., S. 68</ref>

(4) Sind <math>d+1</math> Teilmengen <math>T_1, \ldots , T_{d+1} \subseteq \R^d</math> gegeben sowie ein [[Raumpunkt]] <math>x_0 \in \bigcap_{j=1}^{d+1}{ \operatorname{conv} {T_j} }</math>, so existieren auch stets <math>d+1</math> ausgewählte Raumpunkte <math>x_j \in T_j \; (j=1, \ldots , d+1)</math> derart, dass <math>x_0</math> schon in der konvexen Hülle <math>\operatorname{conv} { \{ x_1, \ldots , x_{d+1} \} } </math> dieser <math>d+1</math> Raumpunkte liegt.

Den Satz von Carathéodory gewinnt man dabei für den Spezialfall <math>T_1=T_2 = \cdots = T_{d+1}</math>.<ref name="WAC_02" />

== Bemerkungen ==
* Obiger Satz von Minkowski verallgemeinert sich in unendlichdimensionalen [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]] zum [[Satz von Krein-Milman]]. Die dort geltenden Aussagen sind schwächer, da [[Abgeschlossene Hülle|Abschlussbildungen]] hinzukommen.
* Obige Aussage (3) lässt sich nicht weiter verbessern. Für die Darstellung des Mittelpunktes eines nicht-ausgearteten [[Simplex (Mathematik)|Simplex]]es im <math>\R^d</math> muss man alle <math>d+1</math> Ecken verwenden.
* Eine weitere nicht-triviale Folgerung aus dem Satz von Minkowski ist, dass eine kompakte, konvexe Menge überhaupt Extremalpunkte hat. Solche Überlegungen spielen bei der Begründung des [[Simplex-Verfahren]]s eine Rolle.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=W. A. Coppel
|Titel=Foundations of Convex Geometry
|Reihe=Australian Mathematical Society Lecture Series
|BandReihe=12
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1998
|ISBN=0-521-63970-0
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Coppel%2C%20W&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1629043 MR1629043]}}
* {{Literatur
|Autor=Steven R. Lay
|Titel=Convex Sets and Their Applications
|Verlag=[[John Wiley & Sons]]
|Ort=New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore
|Datum=1982
|ISBN=0-471-09584-2
|Seiten=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kurt Leichtweiß]]
|Titel=Konvexe Mengen
|Reihe=Hochschultext
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1980
|ISBN=3-540-09071-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Leichtwei%C3%9F&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=586235 MR0586235]}}
* {{Literatur
|Autor=Jürg T. Marti
|Titel=Konvexe Analysis
|Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
|BandReihe=54
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel, Stuttgart
|Datum=1977
|ISBN=3-7643-0839-7
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Satz (Konvexgeometrie)|Minkowski, Satz von]]
[[Kategorie:Hermann Minkowski als Namensgeber]]

Satz von Minkowski - Versionsgeschichte

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