imported>Paschvo: Links

2025-01-29T12:32:29Z

Links

Neue Seite

Der '''Satz von Mercer''' ist eine [[Mathematik|mathematische]] Aussage aus dem Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]]. Er ist benannt nach dem Mathematiker [[James Mercer (Mathematiker)|James Mercer]] und besagt, dass der [[Integralkern]] eines positiven, selbstadjungierten [[Integraloperator|Integraloperators]] als konvergente [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] über seine [[Eigenwerte und Eigenvektoren]] dargestellt werden kann.

== Aussage ==
Sei <math>K</math> eine [[kompakter Raum|kompakte]] Teilmenge von <math>\mathbb{R}^n</math>. Sei weiterhin <math>k \in C(K \times K)</math> eine stetige [[komplexwertige Funktion]], welche die Bedingung <math>k(s,t) = \overline{k(t,s)}</math> für alle <math>s,t\in K</math> erfüllt, wobei <math>\overline{x}</math> das komplex-konjugierte von <math>x</math> bezeichnet, so dass der durch
<math>T_k \colon L^2 ( K ) \rightarrow L^2(K)</math> definierte Integraloperator
:<math>(T_k(f))(\cdot) = \int_K k(\cdot, t) f(t) \mathrm{d}t</math>
[[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] ist.
Seien außerdem <math>\lambda_1 , \lambda_2, \ldots</math> die gemäß ihrer [[Eigenraum#Geometrische Vielfachheit|geometrischen Vielfachheit]] gezählten Eigenwerte des Integraloperators <math>T_k</math> mit zugehörigen [[Orthonormalbasis|orthonormierten]] Eigenfunktionen <math>\varphi_1, \varphi_2, \ldots </math>. Ist der Operator <math>T_k</math> zusätzlich [[Positiver Operator|positiv]], das heißt
:<math>\begin{align}
\forall f \in L^2(K): \quad \int_{K \times K} k(s,t)f(s)f(t)\mathrm{d}(\lambda^n\otimes\lambda^n)(s,t)\geq 0\, ,
\end{align}
</math>
wobei <math> \lambda^n </math> das [[Lebesgue-Maß]] auf <math> \mathbb{R}^n </math> bezeichne, dann besagt der Satz von Mercer, dass
:<math>\begin{align}
k(s,t) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j \varphi_j (s) \overline{\varphi_j (t)}\,
\end{align}
</math>
in [[Absolute Konvergenz|absoluter]] und [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger]] Konvergenz.

== Literatur ==
* [[Bernhard Schölkopf]], Alexander Smola: ''Learning with Kernels: Support Vector Machines, Regularization, Optimization, and Beyond (Adaptive Computation and Machine Learning)'', [[MIT Press]], [[Cambridge (Massachusetts)|Cambridge]], [[Massachusetts|MA]], [[Vereinigte Staaten|USA]], 2002, ISBN 0-262-19475-9.
* [[Wladimir Naumowitsch Wapnik|Wladimir Wapnik]]: ''The Nature of Statistical Learning Theory'', [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]], [[New York City|New York]], [[New York (Bundesstaat)|NY]], USA, 1995.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Mercer, Satz von]]

Satz von Mercer - Versionsgeschichte

imported>Paschvo: Links