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2015-01-05T18:05:07Z

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Der '''Satz von Lumer-Phillips''' ist ein Resultat aus der Theorie der [[Stark stetige Halbgruppe|stark stetigen Halbgruppen]] und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien <math>X</math> ein [[Banachraum]] und <math>(A,D(A))</math> ein in <math>X</math> [[Dicht definierter Operator|dicht definierter]], [[dissipativer Operator]]. Dann erzeugt der [[Abgeschlossener Operator|Abschluss]] <math>\overline A</math> von <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe, also <math>\|e^{tA}\|\leq 1</math> für alle <math>t \ge 0</math>, genau dann, wenn für ein <math>\lambda>0</math> das Bild von <math>\lambda-A</math> dicht in <math>X</math> liegt.

Der Satz wurde 1961 von [[Günter Lumer]] und [[Ralph Phillips]] bewiesen und gehört mit dem [[Satz von Hille-Yosida]] zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die [[Resolvente]] benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

== Folgerungen ==

* Sei <math>(A,D(A))</math> ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum <math>X</math>. Sind sowohl <math>A</math> als auch die [[Adjungierter Operator|Adjungierte]] <math>A^*</math> dissipativ, erzeugt der Abschluss von <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe.
* Ist <math>(A,D(A))</math> ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum <math>X</math> und liegt das Bild von <math>\lambda-A</math> dicht in <math>X</math>, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss <math>\overline A</math> von <math>A</math> dicht in <math>X</math>. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass <math>\overline A</math> eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

== Beispiel ==

* Betrachtet man auf <math>X:=L^2([0,1],\R)</math> (siehe [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Raum]]) den [[Laplace-Operator]] <math>Au:=u''</math> mit [[Dirichlet-Randbedingung]], also <math>D(A):=\{u\in H^2([0,1],\R): u(0)=u(1)=0\}</math>, so ist <math>A:D(A)\rightarrow X</math> invertierbar. Außerdem folgt aus der [[Partielle Integration|partiellen Integration]] <math>\langle Au,u\rangle=\int_0^1 u'' u\,\mathrm dx=-\int_0^1 u'u'\,\mathrm d x\leq 0</math>. Somit erzeugt <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe.

== Literatur ==

* Ammon Pazy: ''Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations''. Applied Mathematical Sciences '''44''', Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
* Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: ''One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations''. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Lumer-Phillips]]

Satz von Lumer-Phillips - Versionsgeschichte

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