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2023-04-07T13:58:12Z

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Der '''Satz von Lindenbaum''' (auch ''Lemma von Lindenbaum'', nach [[Adolf Lindenbaum]]) ist ein Ergebnis der mathematischen Logik. Er besagt, dass jede [[Widerspruchsfreiheit|konsistente]] Formelmenge der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] zu einer konsistenten und [[Vollständigkeit (Logik)|vollständigen Theorie]] erweitert werden kann. Eine solche Theorie wird auch als ''maximalkonsistent'' bezeichnet, da alle ihre echten Obermengen inkonsistent sind. Der Satz spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des [[Gödelscher Vollständigkeitssatz|Gödelschen Vollständigkeitssatzes]].

== Beweisidee ==

Der Beweis für beliebige Mengen kann mit dem [[Auswahlaxiom]] oder einer äquivalenten Aussage wie dem [[Lemma von Zorn|Zornschen Lemma]] geführt werden: Wenn <math>\{\Gamma_i | i \in I\}</math> eine (bezüglich Mengeninklusion) aufsteigende Kette von konsistenten Formelmengen ist, dann ist auch <math display="inline">\bigcup_{i \in I}\Gamma_i</math> konsistent. Nach dem Zornschen Lemma gibt es damit eine maximale konsistente Theorie.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik |Auflage=3. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |Seiten=22 }}</ref>

Gewisse Verallgemeinerungen des Satzes sind sogar äquivalent zum Auswahlaxiom.<ref>{{Literatur |Autor=W. Dzik |Titel=The Existence of Lindenbaum’s Extensions is Equivalent to the Axiom of Choice |Sammelwerk=Reports on Mathematical Logic |Band=12 |Nummer= |Datum=1981 |Seiten=29-31}} {{Literatur |Autor=D.W. Miller |Titel=Some Restricted Lindenbaum Theorems Equivalent to the Axiom of Choice |Sammelwerk=Logica Universalis |Band=1 |Nummer=1 |Datum=2007 |ISSN=1661-8297 |Seiten=183–199 |Online=https://warwick.ac.uk/fac/soc/philosophy/people/miller/lindenbaum.pdf |Format=PDF |KBytes=}}</ref> Für konsistente Formelmengen über abzählbaren Sprachen lässt sich der Satz auch ohne Auswahlaxiom zeigen. Für ausreichend starke rekursiv aufzählbare konsistente Formelmengen gibt es zwar nach dem [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Gödelschen Unvollständigkeitssatz]] keine rekursiv aufzählbare vollständige Erweiterung, aber jede rekursiv aufzählbare konsistente Formelmenge hat eine vollständige Erweiterung in der <math>\Delta_2</math>-Klasse der [[Arithmetische Hierarchie|arithmetischen Hierarchie]].

== Literatur ==
* Hans Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: ''Einführung in die mathematische Logik''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 3-8274-1691-4.
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Rautenberg]]
|Titel=Einführung in die Mathematische Logik
|Auflage=3.
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8348-0578-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Lindenbaum, Satz von]]

Satz von Lindenbaum - Versionsgeschichte

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