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{{Dieser Artikel| bezeichnet einen mathematischen Satz der Gruppentheorie. Für den Vier-Quadrate-Satz siehe [[Vier-Quadrate-Satz]].}}

Der '''Satz von Lagrange''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Satz (Mathematik)|Satz]] der [[Gruppentheorie]]. Er besagt in seiner einfachsten Form, dass die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] (oder [[Gruppenordnung|Ordnung]]) jeder [[Untergruppe]] einer [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppe]] deren Mächtigkeit teilt. Er wurde nach dem italienischen Mathematiker [[Joseph-Louis Lagrange]] benannt.

== Aussage ==

Es seien <math>G</math> eine [[endliche Gruppe]], <math>H</math> eine Untergruppe von <math>G</math>, <math>\left[G\colon H\right]</math> der [[Index (Gruppentheorie)|Index]] von <math>H</math> in <math>G</math>, also die Anzahl der [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] von <math>H</math> in <math>G</math>, und die [[Gruppenordnung]] werde mit <math>|H|</math> bezeichnet.

Dann gilt

:<math>\left|G\right| = [G : H] \cdot |H|</math>.
Insbesondere sind für <math>|G|<\infty</math> sowohl <math>|H|</math> als auch <math>[G : H]</math> Teiler von <math>|G|</math>.

== Beweis des Satzes ==

Betrachte für jedes <math>g\in G</math> die [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Linksnebenklasse]] <math>gH = \{gh \mid h\in H\}</math>.

Es ist <math>h\mapsto gh</math> eine Bijektion zwischen <math>H</math> und <math>gH</math>, denn die Abbildung ist aufgrund der Definition einer Linksnebenklasse surjektiv und nach der Kürzungsregel <math>gh_1 = gh_2 \Rightarrow h_1 = h_2</math> auch injektiv. Somit haben alle Linksnebenklassen die gleiche Mächtigkeit <math>|H|</math> wie die Untergruppe <math>H</math>.

Da die Nebenklassen als [[Äquivalenzklasse]]n der Äquivalenzrelation <math>a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H</math> definiert werden können, liefern sie eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] von <math>G</math>. Da jede Nebenklasse genau <math>|H|</math> Elemente hat und die Anzahl der Nebenklassen gleich <math>\left[G : H\right]</math> ist, folgt
:<math>\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|</math>
was zu beweisen war.

== Folgerungen ==
Da die [[Ordnung eines Gruppenelementes]] gerade die Ordnung der Untergruppe ist, die von diesem Element erzeugt wird, folgt aus dem Satz von Lagrange unmittelbar, dass die Ordnung eines Gruppenelementes stets die Ordnung der Gruppe teilt.

Aus diesem Resultat erhält man direkt den [[Kleiner fermatscher Satz|kleinen fermatschen Satz]] aus der [[Zahlentheorie]] und als weitere Verallgemeinerung den [[Satz von Euler]].

Endliche Gruppen, deren Gruppenordnung eine [[Primzahl]] ist, sind nach dem Satz von Lagrange [[zyklische Gruppe|zyklisch]] und [[einfache Gruppe (Mathematik)|einfach]]. Da die Gruppenordnung eine Primzahl ist, kann es nämlich nach dem Satz von Lagrange nur die trivialen Untergruppen geben und somit erzeugt jedes nicht [[Neutrales Element|neutrale Element]] bereits die ganze Gruppe und es gibt nur die trivialen [[Normalteiler]].

== Verallgemeinerung ==
Sei <math>G</math> eine Gruppe, <math>U\leq V\leq G</math> Untergruppen. Dann erhält man mit zweimaliger Anwendung des Satzes von Lagrange
:<math>\left[G:U\right]=\left[G:V\right]\cdot\left[V:U\right]</math>
Wählt man <math>U=\left\{e\right\}</math> so erhält man daraus wieder den Satz von Lagrange.

== Untergruppen zu gegebener Ordnung ==
Mit dem Satz von Lagrange hat man für endliche Gruppen ein [[Notwendige und hinreichende Bedingung#Notwendige Bedingung|notwendiges Kriterium]] für die Existenz einer Untergruppe zu einer bestimmten Ordnung. Das Kriterium ist allerdings nicht [[Notwendige und hinreichende Bedingung#Hinreichende Bedingung|hinreichend]], das heißt im Allgemeinen gibt es für endliche Gruppen nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe, welche diese Ordnung hat. Die kleinste Gruppe, welche dies verdeutlicht, ist die Gruppe [[A4 (Gruppe)| <math>A_4</math>]]. <math>A_4</math> hat <math>12</math> Elemente, aber keine Untergruppe der Ordnung <math>6</math>.

Dennoch gibt es bestimmte Gruppen, welche zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe dieser Ordnung besitzen. Ein Beispiel sind die [[zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]]. Es gibt auch Sätze, welche die Existenz von Untergruppen bestimmter Ordnungen garantieren. Ein Beispiel hierfür sind die [[Sylow-Sätze]].

== Literatur ==
* Kurt Meyberg: ''Algebra – Teil 1''. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 47.
* Gerd Fischer: ''Lehrbuch der Algebra''. Vieweg 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 28.

== Weblinks ==

{{Wikiversity|Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_46|Der Satz von Lagrange im Rahmen einer Vorlesung über lineare Algebra}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lagrange_theorem Satz von Lagrange] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]] (engl.)

[[Kategorie:Theorie endlicher Gruppen]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Lagrange, Satz von]]
[[Kategorie:Joseph-Louis Lagrange als Namensgeber]]

Satz von Lagrange - Versionsgeschichte

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