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2025-03-23T12:09:11Z

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Der '''Satz von Kolmogorow-Riesz''' (nach [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] und [[Marcel Riesz]]) ist ein Lehrsatz aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]], der ein [[kompakter Raum|Kompaktheitskriterium]] für Teilmengen von [[Lp-Raum|Lp]]-Räumen darstellt. Dieser Satz wird, je nach Verallgemeinerungsgrad, auch Satz von M. Riesz, Satz von Kolmogorow-Fréchet-Riesz oder Satz von Kolmogorow-Riesz-Weil genannt, womit auch Beiträge der Mathematiker [[Maurice René Fréchet]] und [[André Weil]] gewürdigt werden, auch die Namen [[Jakob Davidowitsch Tamarkin]] und [[A. N. Tulajkov]] werden von einigen Autoren erwähnt, wobei Letzterer den Sonderfall <math>p=1</math> behandelt hatte.<ref>H. Hanche-Olsen, Helge Holden: ''The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem'', 4. A Bit of History</ref> Derartige Kompaktheitskriterien haben viele Anwendungen, insbesondere in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]].

== Der Folgenraum lp ==
Die Situation für die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p</math> stellt sich besonders einfach dar, der folgende Satz wurde 1908 für <math>p=2</math> von [[Maurice René Fréchet|Fréchet]] bewiesen<ref>M. Fréchet: ''Essai de geometrie analytique'', Nouv. ann. Math. 4 (1908) 97–116, 289–317.</ref><ref>[[Joseph Wloka]]: ''Funktionalanalysis und Anwendungen'', §22, Satz1</ref>:

Eine Teilmenge <math>M\subset \ell^p</math> (<math>1 \le p < \infty</math>) ist genau dann [[Relativ kompakte Teilmenge|präkompakt]], wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
* <math> \sup_{x\in M}|x_k| < \infty\,\,\forall k\in \N </math>. Dabei ist <math>x_k</math> die <math>k</math>-te Komponente von <math>x</math>.
* <math> \sup_{x\in M}\sum_{k=n}^\infty|x_k|^p\,\xrightarrow[n\to\infty]{} \,0 </math>.

== Funktionenräume Lp ==
Aufwändiger sind Kompaktheitskriterien für Lp-Räume über nicht-[[Diskretheit|diskreten]] Grundmengen. Mittels Zurückführung auf den [[Satz von Arzelà-Ascoli]] kann man zeigen<ref>Jürgen Appell, [[Martin Väth]]: ''Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze'', Satz 3.2</ref>:

''Satz von Kolmogorow-Riesz'': Eine Teilmenge <math>M\subset L^p([0,1])</math>, <math>1 \le p < \infty</math>, ist genau dann präkompakt, wenn
* <math>M</math> ist [[Beschränktheit|beschränkt]] bezüglich der [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|_p</math>,
* <math> \sup_{f\in M} \int_0^1|f(t+h)-f(t)|^p {\mathrm d} t \xrightarrow[h\to 0]{} \,0 </math>.

Dabei ist <math>f(t) := 0</math> für <math>t</math> außerhalb des Einheitsintervalls, um in obiger Formel <math>f(t+h)</math> bilden zu können. Ein analoger Satz gilt natürlich für <math>L^p([a,b])</math> für beliebige <math>a,b\in R, a<b</math>.

Eine Ausdehnung dieses Satzes auf unbeschränkte Gebiete erfordert eine zusätzliche Bedingung<ref>[[Joseph Wloka]]: ''Funktionalanalysis und Anwendungen'', §22, Satz 3</ref>:

''Satz von M. Riesz'': Eine Teilmenge <math>M\subset L^p(\R^n)</math> (<math>1 \le p < \infty</math>) ist genau dann präkompakt, wenn
* <math>M</math> ist [[Beschränktheit|beschränkt]] bezüglich der [[normierter Raum|Norm]] <math>\|\cdot\|_p</math>,
* <math> \sup_{f\in M} \int_{\R^n}|f(t+h)-f(t)|^p \mathrm d t \,\xrightarrow[h\to 0]{} \, 0 </math>,
* <math> \sup_{f\in M} \int_{\R^n\setminus B_r(0)} |f(t)|^p \mathrm d t \,\xrightarrow[r \nearrow \infty]{} \, 0 </math>.

Dabei steht <math>B_r(0)</math> für die Kugel um 0 mit Radius <math>r</math>.

== Lokalkompakte abelsche Gruppen ==
Der Satz von M. Riesz lässt sich nicht auf Lp-Räume über beliebigen [[Maßraum|Maßräumen]] verallgemeinern, da in der zweiten Bedingung des Kompaktheitskriteriums von der Addition und damit von der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppenstruktur]] des <math>\R^n</math> Gebrauch gemacht wird.
Sei nun <math>G</math> eine [[Lokalkompakte Gruppe|lokalkompakte]] [[abelsche Gruppe]] und <math>\mu</math> sei ein [[Haarsches Maß]] auf <math>G</math>. Ist <math>Y</math> ein [[Banachraum]], so kann man wie oben den Raum <math>L^p(G,Y)</math> aller messbaren Funktionen <math>f\colon G\rightarrow Y</math> mit <math>\int_G\|f(t)\|^p \, \mathrm d \mu(t) < \infty</math> bilden. Die Norm <math>\|f\|_p := \left( \int_G\|f(t)\|^p \, \mathrm d \mu(t) \right)^{\frac{1}{p}} </math> macht <math>L^p(G,Y)</math> zu einem Banachraum. Dies verallgemeinert offenbar die oben betrachteten <math>L^p(\R^n,Y)</math>-Räume. Statt der Kugeln um 0 betrachten wir hier ein bzgl. der Vereinigung [[Gerichtete Menge|gerichtetes]] [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>\mathcal C</math> kompakter Mengen in <math>G</math>, so dass jede kompakte Menge aus <math>G</math> in einer Menge aus <math>\mathcal C</math> enthalten ist.

Nicolae Dinculeanu hat folgende Verallgemeinerung obigen Kompaktheitskriteriums bewiesen<ref>N. Dinculeanu: ''On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group'', J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67–85</ref>:

''Satz'': Eine Teilmenge <math>M\subset L^p(G,Y)</math> (<math>1 \le p < \infty</math>, <math>G</math> lokalkompakte abelsche Gruppe, <math>Y</math> Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn
* Für alle messbaren Teilmengen <math>A\subset G</math> mit <math>\mu(A) < \infty</math> ist <math> \{\int_Af(t) \mathrm{d} \mu(t); f\in M\}\subset Y </math> präkompakt,
* <math> \sup_{f\in M} \int_G\|f(t+h)-f(t)\|^p\, \mathrm d \mu(t) \,\xrightarrow[h\to 0]{} \, 0 </math>,
* <math> \sup_{f\in M} \int_{G\setminus C} \|f(t)\|^p \, \mathrm d \mu(t) \,\xrightarrow[C\in {\mathcal C}]{} \, 0 </math>.

Diese Version wurde für den Fall <math>Y=\R</math>, also für skalarwertige Funktionen, von M. Riesz bewiesen. Eine auf Kolmogorow und [[Jakob Davidowitsch Tamarkin|J. D. Tamarkin]] zurückgehende Version, die eine [[Approximation der Eins]] verwendet, wurde ebenfalls von N. Dinculeanu auf den Banachraum-wertigen Fall verallgemeinert. Für die folgende Darstellung dieses Ergebnisses sei <math>\mathcal V</math> eine [[Nullumgebungsbasis]] aus relativ kompakten, offenen Mengen in <math>G</math>. Zu jedem <math>V\in {\mathcal V}</math> wähle eine Funktion <math>u_V\colon G\rightarrow \R_0^+</math>, die beschränkt, messbar uns symmetrisch (d. h. <math>u_V(t)=u_V(-t)\,\forall t\in G</math>) ist mit [[Träger (Mathematik)|Träger]] in <math>\overline{V}</math> und <math> \int_{G}^{} u_V(t) \mathrm d \mu(t) = 1 </math>.
Man kann zum Beispiel <math> u_V = \frac{1}{2\mu(V)}(\chi_V+\chi_ {-V}) </math> wählen, wobei <math>\chi_V</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] von <math>V</math> sei.
Für <math>f\in L^p(G,Y)</math> und <math>t\in G</math> sei die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] <math> u_v\star f(t):= \int_G u_V(s)f(t-s) \mathrm d \mu(s) </math> definiert. Dann ist <math>u_V\in L^p(G,Y)</math>, <math>u_V\star f\in L^p(G,Y)</math> und <math> \|u_V\star f - f\|_p \,\xrightarrow[V\in {\mathcal V}]{} \, 0 </math>; das heißt, das Netz <math>(u_V)_{V\in {\mathcal V}}</math> ist in diesem Sinne eine Approximation der Eins. Es gilt folgender

''Satz'': Eine Teilmenge <math>M\subset L^p(G,Y)</math> (<math>1 \le p < \infty</math>, <math>G</math> lokalkompakte abelsche Gruppe, <math>Y</math> Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn
* Für alle messbaren Teilmengen <math>A\subset G</math> mit <math>\mu(A) < \infty</math> ist <math>K(A):=\{\int_Af(t) \mathrm{d} \mu(t); f\in M\}</math> präkompakt,
* <math> \sup_{f\in M} \int_G\|(u_V\star f)(t)-f(t)\|^p \,\mathrm d \mu(t) \,\xrightarrow[V\in {\mathcal V}]{} \, 0 </math>,
* <math> \sup_{f\in M} \int_{G\setminus C} \|f(t)\|^p\, \mathrm d \mu(t) \,\xrightarrow[C\in {\mathcal C}]{} \, 0 </math>.

In den früheren Fassungen für <math>G=\R</math> und <math>Y=\R</math> wurden die Netze <math>u_n = \frac{1}{2n}\chi_{[-n,n]}</math> und <math>C_n=[-n,n]</math> verwendet.
Wendet man diesen Satz auf die lokalkompakte abelsche Gruppe <math>G=\Z</math> an, so ist die erste Bedingung äquivalent zu <math>\sup_{x\in M}|x_k| < \infty\,\,\forall k\in \N</math>, denn jede Menge endlichen Maßes ist endlich; die zweite Bedingung ist leer, wenn man das Netz <math>u_V = u_{\{0\}}</math> wählt, und die letzte Bedingung wird zu <math> \sup_{x\in M}\sum_{|k|>n} |x_k|^p\,\xrightarrow[n \to\infty]{}\, 0 </math>, wenn man <math>C_n=\{-n,\ldots, n\}</math> setzt. Mit einer geeigneten Isomorphie zwischen <math>\ell^p</math> und <math>L^p(\Z)</math> erhält man genau den eingangs zitierten Satz über <math>\ell^p</math>-Räume.

== Weitere Verallgemeinerungen ==
Weitere Verallgemeinerungen auf nicht-kommutative lokalkompakte Gruppen wurden von [[Josh Isralowitz]]<ref>Josh Isralowitz: ''A characterization of norm compactness in the Bochner space Lp(G;B) for an arbitrary locally compact group'', J. Math. Anal. Appl. 323,2 (2005), Seiten 1007–1017</ref> gefunden.
Eine Ausweitung von Kompaktheitskriterien dieses Typs auf andere über lokalkompakten Gruppen definierte Funktionenräume findet sich bei [[Hans G. Feichtinger]].<ref>Hans G. Feichtinger: ''Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers'', [[Journal of Mathematical Analysis and Applications]] (1984), Band 102, Seiten 289–327, Theorem 2.2</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Quellen ==
* [[Hans Wilhelm Alt]]: ''Lineare Funktionalanalysis'', Springer-Verlag (2006), ISBN 3-540-34186-2
* Jürgen Appell, [[Martin Väth]]: ''Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze'', Vieweg+Teubner (2005), ISBN 3-528-03222-7
* N. Dinculeanu: ''On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group'', J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67–85
* Hans G. Feichtinger: ''Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers'', Journa l of Mathematical Analysis and Applications (1984), Band 102, Seiten 289–327. [https://web.archive.org/web/20160220225755/http://www.univie.ac.at/nuhag-php/bibtex/open_files/fe84_compdist.pdf (auch online verfügbar)] (PDF; 2,6 MB)
* [http://www.math.ntnu.no/conservation/2009/037.pdf H. Hanche-Olsen, Helge Holden: ''The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem''] (PDF; 398 kB)
* A. N. Kolmogorow: ''Über die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel'', Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. II (1931), Seiten 60–63
* J. D. Tamarkin: ''On the compactness of the space L'', Bull. Amer. Math. Soc. Band 38 (1932) Seiten 79–84
* A. N. Tulajkow: ''Zur Kompaktheit im Raum Lp für p=1'', Göttinger. Nachrichten (1933), Seiten 167–170
* [[Joseph Wloka]]: ''Funktionalanalysis und Anwendungen'', ISBN 3-11-001989-2

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Kolmogorow-Riesz, Satz von]]

Satz von Kolmogorow-Riesz - Versionsgeschichte

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