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2020-08-08T13:36:15Z

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Der '''Satz von Hopf-Rinow''' ist eine zentrale Aussage aus der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]]. Er besagt, dass bei [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]] die Begriffe der '''geodätischen Vollständigkeit''' und der [[Vollständiger metrischer Raum|Vollständigkeit]] im Sinne von [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann '''vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit'''. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern [[Heinz Hopf]] und seinem Schüler [[Willi Rinow]].

== Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit ==
Eine [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemann’sche Mannigfaltigkeit]] <math>(M,g)</math> heißt '''geodätisch vollständig''', falls für alle <math>p \in M</math> die [[Exponentialabbildung]] <math>\exp_p</math> für alle <math>v \in T_pM</math> definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt <math>p \in M</math> und jeden Tangentialvektor <math>v \in T_pM</math> ist die [[Geodäte]] <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(0) = p</math> und <math>\dot\gamma(0) = v</math> auf ganz <math>\R</math> definiert.

== Satz von Hopf und Rinow ==
Sei <math>(M,g)</math> eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:
# Die Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist geodätisch vollständig.
# Es existiert ein <math>p \in M,</math> so dass <math>\exp_p</math> für alle <math>v \in T_pM</math> definiert ist.
# Die Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist [[Vollständiger Raum|vollständig als metrischer Raum]].
# Die [[Satz von Heine-Borel|Heine-Borel-Eigenschaft]] gilt. Das heißt, jede [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] und [[Beschränkte Menge|beschränkte]] Teilmenge ist [[Kompakter Raum|kompakt]].

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.
* Für alle <math>p, q \in M</math> existiert eine Geodäte <math>\gamma</math>, welche die Punkte <math>p</math> und <math>q</math> auf kürzestem Weg verbindet.

Die Abstandsfunktion <math>d(p,q)</math> ist hierbei definiert als das Infimum über die Bogenlängen aller stückweise differenzierbaren Kurven <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(a) = p</math> und <math>\gamma(b) = q</math>; das heißt, es gilt
:<math>d(p,q) = \inf_\gamma \int_{a}^{b} \sqrt{g_{\gamma(t)}\left(\frac{d\gamma(t)}{d t}, \frac{d \gamma(t)}{d t}\right)} \,{d}t.</math>
Diese Abstandsfunktion macht <math>M</math> zu einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]].

== Korollare ==
* Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt, dass alle kompakten, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeiten (geodätisch) vollständig sind.
* Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe folgt, dass die Exponentialabbildung <math>\exp_G \colon \mathfrak {g}\to \operatorname{G}</math> surjektiv ist.
* Alle geschlossenen Untermannigfaltigkeiten einer vollständigen, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeit sind vollständig

== Beispiele ==
* Die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>\mathbb{S}^n</math>, der euklidische Raum <math>\R^n</math> und der [[Hyperbolischer Raum|hyperbolische Raum]] <math>\mathbb{H}^n</math> sind vollständig.
* Der metrische Raum <math>M := \R^2 \setminus \{0\}</math> mit der euklidischen Metrik induziert durch das [[Standardskalarprodukt]] ist nicht vollständig. Wählt man nämlich einen Punkt <math>p = (x_1,x_2) \in M</math>, so gibt es zu dem Punkt <math>q = (-x_1, -x_2) \in M</math> keine kürzeste Verbindung in <math>M</math>.

== Literatur ==
* H. Hopf, W. Rinow: ''Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche''. Commentarii Mathematici Helvetici. 3: 209–225, 1931.
* J. Jost: ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis.'' Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry.'' Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.

[[Kategorie:Satz (Riemannsche Geometrie)|HopfRinow,Satz von]]

Satz von Hopf-Rinow - Versionsgeschichte

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