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2020-05-11T20:46:14Z

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Der '''Satz von Hjelmslev''' (auch '''Hjelmslevscher Mittelliniensatz''' genannt, in der englischsprachigen Literatur als ''Hjelmslev’s theorem'' bekannt) ist ein [[Lehrsatz|Satz]] der [[Ebene Geometrie|Geometrie der Ebene]], welcher auf den dänischen Mathematiker [[Johannes Hjelmslev]] (1873 bis 1950) zurückgeht.<ref>Bachmann: S. 79.</ref><ref>Coxeter: S. 69.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Löbell |Titel=Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze. |Sammelwerk=Monatsh. Math. |Band=65 |Datum= |Seiten=249 ff}}</ref><ref>Pedoe: S. 195.</ref> Hjelmslev formuliert diesen Satz im Rahmen seiner berühmten Abhandlung über eine ''Neue Begründung der ebenen Geometrie'', in welcher er zeigt, dass ''eine ebene Geometrie unter ausschließlicher Benutzung ebener Axiome, ohne Stetigkeitsbetrachtungen, ganz unabhängig von der Parallelenfrage aufgebaut werden kann''.<ref>{{Literatur |Autor=Hjelmslev |Titel=Neue Begründung der ebenen Geometrie |Sammelwerk=Math. Ann. |Band=64 |Datum= |Seiten=449 ff.}}</ref><ref>In moderner Terminologie, etwa bei Karzel, Kroll: ''Geschichte der Geometrie seit Hilbert.'' S. 160 ff., ist die Rede von ''Hjelmslevs Begründung der ebenen absoluten Geometrie mit Halbdrehungen''. Karzel / Kroll heben hinsichtlich dieser Abhandlung von Hjelmslev hervor, dass ''die {{Kapitälchen|Hjelmslev}}schen Methoden für die Weiterentwicklung der Geometrie von größter Bedeutung waren''</ref> Die dabei in § 2 der Abhandlung (''Kongruenz und Symmetrie'') angestellten Untersuchungen zu den [[Kongruenzabbildung#Darstellung und Eigenschaften|ebenen Kongruenzabbildungen]] gipfeln im '''Satz von Hjelmslev''',<ref>{{Literatur |Autor=Hjelmslev |Titel=Neue Begründung der ebenen Geometrie. |Sammelwerk=Math. Ann. |Band=64 |Datum= |Seiten=459}}</ref> welcher eine fundamentale Eigenschaft dieser Kongruenzabbildungen behandelt.

== Formulierung des Satzes ==
[[Datei:Hjelmslev's theorem.svg|300px|mini|Die verbundenen roten Punkte sind Bild-Urbild-Paare einer Kongruenz, die grünen Mittelpunkte liegen auf einer Geraden.]]
Gegeben seien in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] eine Kongruenzabbildung <math> \phi </math> sowie zwei [[Gerade (Geometrie)|Geraden]] <math>g</math> und <math>g'</math> mit <math> g' = \phi (g) </math>.

Für jeden [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P \in g</math> und seinen [[Bild (Mathematik)|Bildpunkt]] <math>P' = \phi (P) \in g'</math> sei <math>M(P)</math> der [[Mittelpunkt]] der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>\overline{PP'}</math>.

Dann gilt:

Entweder
: sind die Mittelpunkte <math>M(P)</math> alle [[paarweise verschieden]] und bilden eine einzige Gerade
oder
: die Mittelpunkte <math>M(P)</math> fallen zu einem einzigen Punkt zusammen.

== Literatur ==
'''Originalarbeiten'''
* {{cite journal
|author=[[Johannes Hjelmslev|J. Hjelmslev]]
|title=Neue Begründung der ebenen Geometrie
|journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann]]
|volume=64
|year=1907
|pages=449–474
}}
* {{cite journal
|author=[[Frank Löbell]]
|title=Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze
|journal=[[Monatshefte für Mathematik]]
|volume=65
|year=1961
|pages=249–251
}}

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]]
|Titel=Ebene Spiegelungsgeometrie. Eine Vorlesung über Hjelmslev-Gruppen
|Verlag=BI-Wissenschafts-Verlag
|Ort=Mannheim [u. a.]
|Datum=1989
|ISBN=3-411-03219-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]
|Titel=Unvergängliche Geometrie
|TitelErg=Ins Deutsche übersetzt von [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|J. J. Burckhardt]]
|Reihe=Wissenschaft und Kultur
|BandReihe=17
|Verlag=Birkhäuser Verlag
|Ort=Basel / Stuttgart
|Datum=1963
|Seiten=54
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Coxeter&s5=Unverg%C3%A4ngliche%20Geometrie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0692941]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Helmut Karzel]], Hans-Joachim Kroll
|Titel=Geschichte der Geometrie seit Hilbert
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1988
|ISBN=3-534-08524-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Daniel Pedoe|D. Pedoe]]
|Titel=A Course of Geometry for Colleges and Universities
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge
|Datum=1970
|ISBN=0-521-07638-2}}

== Weblinks ==
* Jay Warendorff: [http://demonstrations.wolfram.com/HjelmslevsTheorem/ Animation zum Satz von Hjelmslev]
* Frank Löbell: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002473216 Link zu der Abhandlung]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Absolute Geometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Hjelmslev, Satz von]]

Satz von Hjelmslev - Versionsgeschichte

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