2A0A:A548:D006:0:2118:31BD:5F16:2B85: /* Einzelnachweise */

2025-03-23T17:11:51Z

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Der '''Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch''' ist ein Lehrsatz der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]]. Er kann als Verallgemeinerung des [[Satz von Riemann-Roch|Satzes von Riemann-Roch]] verstanden werden und ist nach den Mathematikern [[Friedrich Hirzebruch]], [[Bernhard Riemann]] und [[Gustav Roch]] benannt. Hirzebruch bewies diesen Satz für [[Projektive Varietät|projektive]] komplexe Mannigfaltigkeiten. In der im Folgenden formulierten Version gilt er allgemein für [[komplexe Mannigfaltigkeit]]en.<ref>[https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/91/1/12_Satz%20von%20Riemann-Roch%20in%20faisceau-theoretischer%20Formulierung.pdf Der Satz von Riemann-Roch in Faisceau-theoretischer Formulierung] </ref> Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch selbst kann als Spezialfall der Sätze [[Satz von Grothendieck-Riemann-Roch|von Grothendieck-Riemann-Roch]] und [[Atiyah-Singer-Indexsatz|von Atiyah-Singer]] verstanden werden.

== Satz ==
Sei <math>E\to M</math> ein [[holomorphes Vektorbündel]] über einer [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeit]]. Dann gilt
:<math>\chi(M,E):=\sum_i(-1)^i\dim H^i(M,E)=\int_MTd(M)ch(E),</math>
wobei <math>Td(M)</math> die [[Todd-Klasse]] des [[Tangentialbündel]]s, <math>ch(E)</math> die [[totale Chern-Klasse]] von <math>E</math> und <math>H^i(M,E)</math> die [[Garbenkohomologie]] der [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] der [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] in <math>E</math> ist.

== Riemannsche Flächen ==
Für einen Divisor <math>D</math> auf einer [[Riemannsche Fläche]] <math>S</math> betrachtet man das dem Divisor entsprechende [[Geradenbündel (Faserbündel)|Geradenbündel]] und erhält
:<math>\dim H^0({\mathcal O}(D))-\dim H^1({\mathcal O}(D))=c_1({\mathcal O}(D))+\frac{1}{2}c_1(TS),</math>
was zum klassischen [[Satz von Riemann-Roch]]
:<math>l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g</math>
äquivalent ist.

== Funktorieller Zugang ==
Der [[Satz von Grothendieck-Riemann-Roch]] gibt eine Verallgemeinerung des Satzes für [[Morphismus|Morphismen]] <math>f\colon M\to N</math> und hat durch diesen [[Funktor (Mathematik)|funktoriellen]] Zugang einen einfacheren Beweis. Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch ist der Spezialfall für <math>N=\left\{\text{Punkt}\right\}</math>.

== Literatur ==
* [[Friedrich Hirzebruch]]: ''Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie''. Springer-Verlag 1956, ISBN 978-3-662-41083-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Komplexe Geometrie)|HirzebruchRiemannRoch]]
[[Kategorie:Satz (Algebraische Geometrie)|HirzebruchRiemannRoch]]
[[Kategorie:Satz (Differentialgeometrie)|HirzebruchRiemannRoch]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]

Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch - Versionsgeschichte

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