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Der '''Satz von Hellinger-Toeplitz''' ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] aus der [[Funktionalanalysis]]. Er ist nach den [[Mathematiker]]n [[Ernst Hellinger]] und [[Otto Toeplitz]] benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von [[Bilinearform|Bilinearformen]] unendlich vieler Veränderlicher formuliert.<ref>{{Literatur |Autor=[[Robert Edmund Edwards|R. E. Edward]] |Titel=The Hellinger-Toeplitz Theorem |Sammelwerk=Journal of the London Mathematical Society |Band=s1-32 |Nummer=4 |Datum=1957-10 |Sprache=en |DOI=10.1112/jlms/s1-32.4.499 |Seiten=499–501 |Online=http://doi.wiley.com/10.1112/jlms/s1-32.4.499 |Abruf=2022-11-10}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ernst Hellinger, Otto Toeplitz |Titel=Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen |Sammelwerk=Mathematische Annalen |Band=69 |Nummer=3 |Datum=1910-09 |ISSN=0025-5831 |DOI=10.1007/BF01456325 |Seiten=321 ff. |Online=http://link.springer.com/10.1007/BF01456325 |Abruf=2022-11-10}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ernst Hellinger, Otto Toeplitz |Titel=Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=1928 |ISBN=978-3-663-15348-1 |DOI=10.1007/978-3-663-15917-9 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-663-15917-9 |Abruf=2022-11-10}}</ref>

== Formulierung ==
Es seien <math>H</math> ein [[Hilbertraum]] und <math>T : H \rightarrow H</math> ein [[Symmetrischer Operator|symmetrischer]] [[linearer Operator]], das heißt, ein Operator, der für alle <math>x,\,y \in H</math> die Gleichung

:<math>\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle</math>

erfüllt. Dann ist <math>T</math> stetig, d. h. beschränkt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Marshall Harvey Stone]] |Titel=Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis |Verlag=American Mathematical Society |Ort=New York |Datum=1932 |Sprache=en |ISBN=0-8218-1015-4 |Seiten=59 ff. |Online=https://archive.org/details/dli.ernet.205732/mode/2up |Abruf=2022-11-10}}</ref>

== Beweis ==
Nach dem [[Satz vom abgeschlossenen Graphen]] ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen:<ref>{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4 |Seiten=260 ff. |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-55407-4 |Abruf=2022-11-10}}</ref> Ist <math>(x_n)_{n \in \mathbb N}</math> eine [[Nullfolge]] und <math>Tx_n</math> konvergent, dann ist <math>\lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n = 0</math>.<br />
Verwendet man die [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] des [[Skalarprodukt|Skalarprodukts]] auf <math>H</math> und setzt <math>y:=\lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n</math>, dann folgt

:<math>\langle y,y\rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle = \langle 0,Ty \rangle = 0,</math>

also <math>y = 0</math>.

== Folgerungen ==
* Da der Operator <math>T</math> linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
* Jeder symmetrische, überall auf <math>H</math> definierte Operator ist [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]].
* Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

== Verallgemeinerung ==
Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien <math>H_1</math> und <math>H_2</math> Hilberträume und <math>T : H_1 \rightarrow H_2</math> ein linearer Operator, der ein [[Adjungierter Operator|Adjungiertes]] besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator <math>S : H_2 \rightarrow H_1</math>, der für alle <math>x\in H_1</math> und <math>y\in H_2</math> die Gleichung

:<math>\langle Tx,y \rangle_{H_2} = \langle x,Sy \rangle_{H_1}</math>

erfüllt. Dann sind <math>T</math> und <math>S</math> stetig.

Der Beweis geht analog.

== Literatur ==
Siehe die Einzelnachweise oder Fachbücher der [[Funktionalanalysis]].

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Hellinger-Toeplitz]]

Satz von Hellinger-Toeplitz - Versionsgeschichte

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