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2020-05-11T19:01:05Z

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Der '''Satz von Fodor''' (auch: '''Pressing Down Lemma''') ist ein Satz aus der [[Mengenlehre]], der 1956 von dem ungarischen Mathematiker [[Géza Fodor]] entdeckt wurde. Er besagt, dass es für bestimmte [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] immer große (d. h. [[club-Filter|stationäre]]) Teilmengen gibt, auf denen diese lediglich einen Wert annehmen.

== Aussage ==

Sei <math>S\subseteq\kappa</math> eine [[Club-Menge#Der club-Filter|stationäre]] Teilmenge einer [[Konfinalität|regulären]], [[überabzählbar]]en [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>\kappa</math>. Ist <math>f \colon S\to\kappa</math> eine ''regressive'' Funktion, d. h. gilt <math>f(\alpha)<\alpha</math> für alle <math>\alpha\in S \setminus \{0 \}</math>, so gibt es eine stationäre Menge <math>T\subseteq S</math>, auf der <math>f</math> konstant ist, d. h. es existiert ein <math>\gamma\in\kappa</math>, sodass <math>f(\alpha)=\gamma</math> für alle <math>\alpha\in T</math> gilt.

== Beweis ==

Annahme, die Aussage gilt nicht: Dann wäre für jedes <math>\gamma\in\kappa</math> die Menge <math>D_\gamma=\{\alpha\in\kappa\mid f(\alpha)=\gamma\}</math> nichtstationär. Daher sind die Komplemente <math> D_\gamma^{\mathrm C}</math> jeweils Obermengen von [[club-Menge]]n, also Elemente des [[club-Filter]]s <math>\mathcal{C}_\kappa</math>. Dieser ist gegenüber [[diagonaler Schnitt|diagonalen Schnitten]] abgeschlossen, daher gilt <math>\textstyle C=\bigtriangleup_{\gamma<\kappa} D_\gamma^{\mathrm C}=\{\alpha\in\kappa\mid\alpha\in\bigcap_{\gamma<\alpha}D_\gamma^{\mathrm C}\}\in\mathcal{C}_\kappa</math>. Da <math>S</math> stationär ist, ist <math>S\cap C\neq\emptyset</math>. Für <math>\alpha\in S\cap C</math> gilt aber: <math>\forall\gamma<\alpha:\alpha\notin D_\gamma</math>, also <math>f(\alpha)\neq\gamma</math> für alle <math>\gamma<\alpha</math>. Dies steht im Widerspruch zur Regressivität. Also ist die Annahme falsch, das heißt, es gibt eine solche stationäre Menge.

== Literatur ==

* Fodor, Géza: ''Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen'', Acta Sci. Math. Szeged, 17 (1956), S. 139–142.
* Jech, Thomas: ''Set Theory'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)|Fodor, Satz von]]

Satz von Fodor - Versionsgeschichte

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