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Der '''Satz von Fischer-Riesz''' ist eine Aussage aus der [[Funktionalanalysis]]. [[Ernst Sigismund Fischer]] und [[Frigyes Riesz]] bewiesen im Jahr 1907<ref>Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619</ref> unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.

== Klassischer Satz von Fischer-Riesz ==
Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum <math>L^2([0,1])</math> der quadrat-integrierbaren Funktionen ist [[Isometrie|isometrisch]] [[Isomorphie (Mathematik)|isomorph]] zum [[Folgenraum]] <math>\ell^2(\N)</math> der quadrat-summierbaren Funktionen also
:<math>L^2([0,1]) \cong \ell^2(\N).</math>
Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der [[Analysis|reellen Analysis]] formulieren. So ist eine [[messbare Funktion]] genau dann in <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, wenn ihre [[Fourierreihe|Fourier-Reihe]] bezüglich der <math>L^2</math>-Norm konvergiert. Im Folgenden wird der <math>L^2</math>-Raum von dem Intervall <math>[-\pi,\pi]</math> gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.

Die am <math>N</math>-ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion <math>f</math> ist
:<math>\mathcal{F}_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{inx},</math>
wobei <math>a_n</math> der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch
:<math>a_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}x</math>
gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion <math>f</math> gilt also dann
:<math>\lim_{N \to \infty} \left \Vert \mathcal{F}_N(f) - f \right \|_{L^2} = \lim_{N \to \infty} \left \Vert \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{in\cdot} - f \right \|_{L^2} = 0.</math>
Der Isomorphismus zwischen <math>L^2</math> und <math>\ell^2(\N)</math> ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.

== Verallgemeinerter Satz von Fischer-Riesz ==
Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.

=== Aussage ===
Ist <math>H</math> ein [[Hilbertraum]] und <math>\left(e_i\right)_{i\in I}</math> eine [[Orthonormalbasis]] von <math>H</math>, so ist die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]
:<math>\Phi \colon \, H \to \ell^2(I); \quad x \mapsto \left(\langle x,e_i\rangle\right)_{i\in I}</math>
ein [[Isometrie|isometrischer]] [[Isomorphismus]].

=== Folgerungen ===
* Seien <math>I</math> und <math>J</math> zwei Indexmengen. Zwei Hilberträume <math>H</math> und <math>K</math> mit Orthonormalbasen <math>\left(e_i\right)_{i\in I}</math> und <math>\left(e_j\right)_{j\in J}</math> sind isometrisch isomorph, wenn <math>I</math> und <math>J</math> die gleiche [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] haben.

* Jedes Orthonormalsystem in einem Hilbertraum kann zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden (was sich unmittelbar aus dem [[Lemma von Zorn]] ergibt), insbesondere besitzt jeder Hilbertraum, da die [[leere Menge]] stets ein Orthonormalsystem ist, eine Orthonormalbasis <math>B</math>. Somit ist nach dem Satz von Fischer-Riesz jeder Hilbertraum isomorph zum Raum <math>\ell^2(B)</math>.

* Anders ausgedrückt: Die volle [[Unterkategorie]] der Räume <math>\ell^2(I)</math> für beliebige Mengen <math>I</math> in der Kategorie der Hilberträume mit geeigneten Morphismen (lineare Operatoren, beschränkte lineare Operatoren, lineare Kontraktionen) ist äquivalent zu dieser.

* Aus dem Satz lässt sich folgern, dass jeder [[Separabler Raum|separable]] [[Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionale]] Hilbertraum zum [[Folgenraum]] <math>\ell^2(\mathbb{N})</math> isometrisch isomorph ist.

== Vollständigkeit der L<sup>p</sup>-Räume ==
{{Hauptartikel|Dualität von Lp-Räumen|titel1=Dualität von <math>L^p</math>-Räumen}}

Die Aussage, dass die <math>L^p(\Omega,\mu)</math>-Räume für <math>1 \leq p \leq \infty</math> mit der Norm
:<math> \|f\|_p := \left(\int_\Omega |f(x) |^p\,\mathrm{d}\mu(x) \right)^{1/p}</math>
[[Banachraum|Banachräume]], also insbesondere [[Vollständiger Raum|vollständig]] sind, wird auch oftmals als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.

Für den Fall <math>p=2</math> und <math>\mu</math> als [[Lebesgue-Maß]] folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge <math>\textstyle a_n := \int_\Omega f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}\mu(x)</math> genau dann in <math>\ell^2</math>, wenn <math>f</math> eine <math>L^2</math>-Funktion ist.

Für <math>1 < p < \infty</math> ergibt sich die Vollständigkeit des <math>L^p</math>-Raumes beispielsweise wegen dessen [[Reflexiver Raum|Reflexivität]], die aus der [[Dualität von Lp-Räumen]] resultiert. Jeder reflexive [[Normierter Raum|normierte Raum]] ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen [[Bidualraum]].

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
* H. Heuser: ''Funktionalanalysis'', Teubner-Verlag, 2006, ISBN 3-8351-0026-2, enthält historische Bemerkungen

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Fischer-Riesz]]

Satz von Fischer-Riesz - Versionsgeschichte

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