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2019-07-23T09:30:16Z

Literatur

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In der [[Mathematik]] besagt der (nach [[Ulisse Dini]] benannte) '''Satz von Dini''', dass eine [[Monotone Funktionenfolge|monotone Folge]] [[reellwertige Funktion|reellwertiger]] [[stetige Funktion|stetiger Funktionen]] mit stetiger [[Grenzfunktion]] auf [[Kompakter Raum|Kompakta]] [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig konvergiert]].

== Aussage ==
Sind <math>X</math> ein [[kompakter Raum|kompakter]] [[topologischer Raum]],
:<math>(f_i\colon X \rightarrow \mathbb{R})_{i\in\N}</math>

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit
:<math>f_i(x) \leq f_{i+1}(x)</math>

für alle natürlichen Zahlen <math>i</math> und alle <math>x\in X</math> und existiert eine stetige Grenzfunktion <math>f</math>, das heißt

:<math>\lim_{i\to \infty}f_i(x) = f(x)</math>

für alle <math>x\in X</math>, so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen <math>f</math>, das heißt

:<math>\lim_{i\to \infty} \sup_{x\in X}|f_i(x) - f(x)| = 0.</math>

== Beweis ==
Für ein vorgegebenes <math>\varepsilon>0</math> setze
:<math>E_i:=\{x\in X \mid f(x)-f_i(x)<\varepsilon\}</math>.

Da die Folge der <math>f_i</math> punktweise gegen <math>f</math> konvergiert, bilden die <math>E_i</math> eine [[Offene Überdeckung|Überdeckung]] von <math>X</math>, die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung <math>(E_i)_i</math> ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil <math>X</math> kompakt ist, wird <math>X</math> bereits von endlich vielen der <math>E_i</math> überdeckt. Ist <math>N</math> der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt <math>E_i=X</math> für alle größeren Indizes <math>i</math>. Also ist
:<math>|f(x)-f_i(x)| = f(x)-f_i(x)<\varepsilon \,</math> für alle <math>x\in X</math> und <math>i>N \,</math>,
woraus die Behauptung folgt.

== Bemerkung ==
Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge <math>(-f_i)_{i\in \N}</math> sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel
<math> f_i(x) = 1 - x^i </math> auf <math>X = [0,1]</math> einfach sehen kann.

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im'' '''R'''<sup>n</sup> ''und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Dini]]

Satz von Dini - Versionsgeschichte

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