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[[Datei:Tetrahedron centroid gimp.png|mini|hochkant=1.2|{{center|Mediane eines Tetraeders<br>
mit Schwerpunkt S}}<math>\begin{align}&\frac{|AS|}{|SS_{BCD}|}=\frac{|BS|}{|SS_{ACD}|}=\frac{|CS|}{|SS_{ABD}|}\\=&\frac{|DS|}{|SS_{ABC}|}=\frac{3}{1} \end{align}</math>]]
Der '''Satz von Commandino''' ist ein [[Lehrsatz]] der [[Raumgeometrie]], welcher auf den italienischen Mathematiker [[Federigo Commandino]] (1506–1575)<ref>{{Literatur |Autor=Nathan Altshiller-Court |Titel=Modern Pure Solid Geometry |Auflage=2. |Verlag=Chelsea Publishing Company |Ort=Bronx NY |Datum=1964 |Seiten=57, 339 |OCLC=1597161}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Howard Eves |Titel=An Introduction to the History of Mathematics |Auflage=5. |Verlag=Saunders College Publishing |Ort=Philadelphia [u. a.] |Datum=1983 |ISBN=0-03-062064-3 |Seiten=438}}</ref> zurückgeht. Er behandelt eine elementare Durchschnittseigenschaft der '''Mittellinien''' (engl. ''medians'')<ref>{{Literatur |Autor=Nathan Altshiller-Court |Titel=Modern Pure Solid Geometry |Auflage=2. |Verlag=Chelsea Publishing Company |Ort=Bronx NY |Datum=1964 |Seiten=57}}</ref> des allgemeinen [[Tetraeder]]s. Der Satz ist das dreidimensionale Analogon des Durchschnittssatzes über die [[Seitenhalbierende]]n in der [[Dreiecksgeometrie]].

== Formulierung des Satzes ==
: ''Gegeben sei ein Tetraeder <math> \mathcal{T} \subset \R^3 </math> . Jeder der vier [[Eckpunkt]]e <math>X = A ,\, B ,\, C ,\, D </math> von <math> \mathcal{T} </math> ist mit dem '''Schwerpunkt'''<ref>Hier ist unter '''Schwerpunkt''' stets [[Eckenschwerpunkt]] zu verstehen.</ref> <math>{S'}_X</math> der gegenüberliegenden [[Dreiecksfläche]] <math> \Delta'_X </math> durch eine [[Gerade (Geometrie)|Gerade]] verbunden, nämlich durch die zu <math>X</math> gehörige Mittellinie   <math> m_X \subset \R^3 </math>.''
: ''Dafür gilt: ''
: ''Der Durchschnitt  <math>\textstyle \bigcap_{X = A ,\, B ,\, C ,\, D} {m_X}</math>  der vier Mittellinien besteht aus genau einem Punkt.''
: ''Dies ist der Schwerpunkt <math> S({\mathcal{T}}) </math> des Tetraeders <math> \mathcal{T} </math>.''
: ''Dabei beträgt das [[Teilverhältnis]] <math> \lambda </math>, in dem der Schwerpunkt <math> S({\mathcal{T}}) </math> die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>\overline{ {{S'}_X} X }</math> zweiteilt, stets   <math> \lambda </math> = 1 : 3   und der Eckpunkt <math>X</math> ist stets Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken.''<ref>{{Literatur |Autor=Nathan Altshiller-Court |Titel=Modern Pure Solid Geometry |Auflage=2. |Verlag=Chelsea Publishing Company |Ort=Bronx NY |Datum=1964 |Seiten=57–58}}</ref>

Ein Beweis des Satzes ist in dem Artikel [[Baryzentrische Koordinaten#Satz von Commandino|Baryzentrische Koordinaten]] enthalten.

== Verallgemeinerungen ==
Der dem '''Satz von Commandino''' entsprechende Sachverhalt gilt für [[Simplex (Mathematik)|Simplexe]] beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]]:<ref>{{Literatur |Autor=[[Egbert Harzheim]] |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort=Darmstadt |Datum=1978 |ISBN=3-534-07016-X |Seiten=33 |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim%2C%20Egbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=24&mx-pid=533264 MR0533264]}}</ref>

: ''Ist <math> \Delta </math> ein <math>p</math>-Simplex beliebiger Dimension <math> p > 1 </math> im <math>\R^n \; (p,n \in \N , n \geq p) </math> und sind <math>X(0), X(1), \dots,X(p) </math> seine Eckpunkte, so treffen sich die Mittellinien   <math> m_{X(0)}, m_{X(1)}, \dots,m_{X(p)} </math>, also die [[Verbindungsgerade]]n der <math> \Delta </math>-Eckpunkte <math>X(i) (i= 0, 1, \dots,p) </math> mit den Schwerpunkten <math> S'_{X(i)} </math> der jeweils gegenüberliegenden <math> (p-1) </math>-dimensionalen [[Simplex (Mathematik)#Definitionen|Seitenflächen]] <math> \Delta'_{X(i)} </math> , genau im Schwerpunkt <math> S(\Delta) </math> des <math>p</math>-Simplexes. ''
: ''Dabei ist das Teilverhältnis, in dem der Schwerpunkt <math> S(\Delta) </math> die Strecke <math>\overline{ {S'_{X(i)}} {X(i)}}</math> zweiteilt, gleich   <math>1 : p</math>  .   <math>X(i)</math> ist also Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken und der [[Abstand]] zwischen <math>X(i)</math> und <math> S(\Delta) </math> ist stets das <math> \tfrac {p}{p+1}</math>-fache des Abstandes zwischen <math>X(i)</math> und <math>S'_{X(i)}</math>. ''

=== Allgemeiner Satz ===
In voller Allgemeinheit gilt sogar der folgende Satz, der eine grundlegende Beziehung ausweist, welche dem [[Hebel (Physik)|Hebelgesetz der Physik]] entspricht:<ref>{{Literatur |Autor=[[Egbert Harzheim]] |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort=Darmstadt |Datum=1978 |ISBN=3-534-07016-X |Seiten=31}}</ref>
: ''Gegeben seien [[natürliche Zahl]]en <math>m</math> und <math>k</math> sowie dazu in einem <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>\mathcal {V}</math>   <math>m+k</math> [[paarweise verschieden]]e [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>X_1, \dots, X_m, Y_1, \dots, Y_k \in \mathcal {V} </math>.''
: ''Der Schwerpunkt dieser <math>m+k</math> Punkte sei <math>S</math>, während <math>S_X</math> der Schwerpunkt der <math>X_i \; (i=1, \dots, m)</math> und <math>S_Y</math> derjenige der <math>Y_j \; (j=1, \dots, k)</math> sein möge.''
: ''Dann gilt: ''
: <math>\begin{align}
S &= S_X + \frac{k}{m+k} (S_Y-S_X) \\
&= \frac{m}{m+k} S_X + \frac{k}{m+k} S_Y \\
\end{align}</math>
: ''Der Schwerpunkt <math>S</math> liegt demnach auf der Strecke <math>\overline{ {S_X} {S_Y}}</math> und teilt diese im [[Quotient|Verhältnis]] <math>k:m</math>.''

==== Der Lehrsatz von Reusch ====
Der obige allgemeine Satz schließt nicht nur die obige Verallgemeinerung des '''Satzes von Commandino''' (und damit diesen selbst) in sich ein,<ref>{{Literatur |Autor=[[Egbert Harzheim]] |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort=Darmstadt |Datum=1978 |ISBN=3-534-07016-X |Seiten=31 ff.}}</ref> sondern offenbar auch einen weiteren interessanten Satz über die Schwerpunkte der Tetraeder, der nach den ''Mathematische Unterhaltungen'' von [[Friedrich Joseph Pythagoras Riecke]]<ref>Vgl. [[s:BLKÖ:Riecke, Friedrich Joseph Pythagoros|Artikel über Riecke]] auf [[Wikisource]]</ref> auf den [[Tübingen|Tübinger]] [[Professor]] der [[Physik]] [[Friedrich Eduard Reusch]] zurückgeht und sich wie folgt darstellen lässt:<ref name="FJPR_I">Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): ''Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft.'' 1973, S. 100, 128</ref><ref>In den ''Mathematische Unterhaltungen'' (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.fl33pn;view=1up;seq=7 ''Der Spitzbogen''] verwiesen.</ref>
: ''Man findet den Schwerpunkt eines Tetraeders, indem man zu zwei Paaren gegenüberliegender [[Simplex (Mathematik)#Seitenflächen und Rand|Kanten]] die [[Mittelpunkt#Beispiele in Koordinaten|Mittelpunkte]] bestimmt und die beiden paarweise gegenüberliegenden Kantenmittelpunkte durch die zugehörigen Mittellinien [[Verbindungsstrecke|verbindet]]. Der [[Schnittpunkt]] der beiden so gewonnenen Mittellinien ist der Schwerpunkt des Tetraeders.''

In Verbindung mit der Tatsache, dass ein Tetraeder genau drei Paare gegenüberliegender Kanten hat, entnimmt man dem Lehrsatz von Reusch noch das folgende Resultat:<ref name="FJPR_I" />
: ''In einem Tetraeder schneiden sich die drei zu gegenüberliegenden Kantenmittelpunkten gehörigen Mittellinien in einem Punkt, nämlich im Schwerpunkt des Tetraeders.''

==== Der Lehrsatz von Varignon ====
Im Zusammenhang mit dem obigen allgemeinen Satz ist neben dem Lehrsatz von Reusch auch ein verwandter Lehrsatz von [[Pierre de Varignon]] über die Schwerpunkte von [[Viereck]]en im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] zu nennen. Dieser Lehrsatz, der auch als ''Satz von Varignon'' bezeichnet wird, besagt folgendes:<ref name="HSMC_I">Coxeter, op. cit., S. 242</ref><ref name="DUDEN">''DUDEN: Rechnen und Mathematik.'' 1985, S. 652</ref>
: ''Im <math>\R^n \; (n \geq 2) </math> sei ein Viereck mit vier verschiedenen Eckpunkten gegeben, welche nicht notwendig [[Komplanarität|in einer Ebene]] liegen müssen.''
: ''Dann gilt: ''
: ''Die beiden Mittellinien, also die beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte, schneiden sich im Eckenschwerpunkt der vier Eckpunkte und werden dabei von diesem jeweils halbiert.''

== Siehe auch ==
* [[Satz von Varignon]]
* [[Diagonalensatz]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Nathan Altshiller-Court
|Titel=Modern Pure Solid Geometry
|Auflage=2.
|Verlag=Chelsea Publishing Company
|Ort=Bronx NY
|Datum=1964
|OCLC=1597161}}
* {{Literatur
|Autor=H. S. M. Coxeter
|Titel=Unvergängliche Geometrie
|TitelErg=Ins Deutsche übersetzt von [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|J. J. Burckhardt]]
|Reihe=Wissenschaft und Kultur
|BandReihe=17
|Auflage=
|Verlag=Birkhäuser Verlag
|Ort=Basel / Stuttgart
|Datum=1963
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Coxeter&s5=Unverg%C3%A4ngliche%20Geometrie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0692941]}}
* {{Literatur
|Autor=Howard Eves
|Titel=An Introduction to the History of Mathematics
|Auflage=5.
|Verlag=Saunders College Publishing
|Ort=Philadelphia [u. a.]
|Datum=1983
|ISBN=0-03-062064-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
|Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-07016-X
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264]}}
* {{Literatur
|Hrsg=Friedrich Joseph Pythagoras Riecke
|Titel=Mathematische Unterhaltungen
|Band=Zweites Heft
|Verlag=Dr. Martin Sändig
|Ort=Walluf bei Wiesbaden
|Datum=1973
|ISBN=3-500-26010-1
|Kommentar=Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Harald Scheid]]
|Titel=DUDEN: Rechnen und Mathematik
|Auflage=4., völlig neu bearbeitete
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim / Wien / Zürich
|Datum=1985
|ISBN=3-411-02423-2}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Geometrie)|Commandino]]

Satz von Commandino - Versionsgeschichte

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