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[[Datei:Ceva's_theorem_1.svg|mini|hochkant=1.5|Satz von Ceva<br/><math>O=AD \cap CF \cap BE \,\Rightarrow\, \frac{|AF| \cdot |BD|\cdot |CE|}{|AE| \cdot |BF| \cdot |CD|}=1</math>]]
[[Datei:Satz von ceva umkehrung parallel.svg|mini|hochkant=1.5|Satz von Ceva mit parallelen Geraden<br/><math>AD \parallel CF \parallel BE \,\Rightarrow\, \frac{|AF| \cdot |BD|\cdot |CE|}{|AE| \cdot |BF| \cdot |CD|}=1</math>]]
Der '''Satz von Ceva''' ist eine [[Geometrie|geometrische]] Aussage über [[Cevane|Ecktransversalen]] im Dreieck, die der [[Italien|italienische]] Mathematiker [[Giovanni Ceva]] (1647 bis 1734) [[1678]] in seinem Werk ''De lineis rectis'' bewies. Der Satz wurde allerdings bereits im 11. Jahrhundert durch den Mathematiker und [[Taifa von Saragossa|Emir von Zaragossa]] [[Yusuf al-Mutaman]] in seinem Werk ''Kitab al-Istikmal'' (Buch der Perfektionen) beschrieben.<ref>[[Robin Wilson (Mathematiker)|Robin Wilson]]: "Ceva’s Theorem". In: ''Math Intelligencer'', Band 45, S. 294 (2023). https://doi.org/10.1007/s00283-022-10242-6 </ref>

== Aussage ==
In einem Dreieck <math>ABC</math> seien <math>AD</math>, <math>BE</math> und <math>CF</math> drei [[Ecktransversale]]n (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt <math>O</math> innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt:

:<math>TV(A,B,F) \cdot TV(B,C,D) \cdot TV(C,A,E) = 1</math>

Hierbei ist <math>TV(U,V,W)</math> das (orientierte, also eventuell negative) [[Teilverhältnis]] von <math>U,V,W</math>, was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte <math>U,V,W</math> mit <math>W \neq V</math> definiert wird durch <math>\overrightarrow{UW} = TV(U,V,W) \cdot \overrightarrow{WV}</math>. Wenn <math>W</math> zwischen <math>U</math> und <math>V</math> liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich <math>\overline{UW}/\overline{WV}</math>, andernfalls gleich <math>-\overline{UW}/\overline{WV}</math>.

Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des [[Satz von Menelaos|Satzes von Menelaos]] beweisen.

Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden <math>AD</math>, <math>BE</math> und <math>CF</math> in einem Punkt schneiden oder parallel sind. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der [[Dreiecksgeometrie]] für Beweise aus dem Themenbereich „[[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]“ verwendet.

Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch:

:<math>|AF| \cdot |BD| \cdot |CE|
= |AE| \cdot |BF| \cdot |CD|</math>

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. [[Satz von Menelaos]].

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der [[Satz von Routh]].

Formuliert man den Satz von Ceva für die [[Projektive_Ebene#Motivation|reelle projektive Ebene]] beziehungsweise für den projektiven Abschluss der hier verwendeten (affinen) reellen Anschauungsebene, so kann man den Satz und seine Umkehrung ohne den Sonderfall der parallelen Geraden formulieren.

== Siehe auch ==
* [[Cevasche Strecken]]

==Literatur==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. 3. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81.
* Branko Grunbaum, G. C. Shephard: ''Ceva, Menelaus, and the Area Principle''. Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 ({{JSTOR|2690569}}).
*James E. Lightner: ''A New Look at Centers of a Triangle''. The Mathematics Teacher, Band 68, Nr. 7, Nov. 1975, S. 612–615 ({{JSTOR|27960289}}).

== Weblinks ==
{{Commons|Ceva's theorem}}
*[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ceva.shtml ''Ceva's theorem''] auf cut-the-knot.org
*Jürgen Richter-Gebert: {{Webarchiv |url=https://geo.ma.tum.de/_Resources/Persistent/c/4/b/5/c4b5cd14dac96532370daf41374167d6cf81d6ce/42_Coxeter.pdf |wayback=20240123194151 |text=''Meditations on Ceva’s Theorem'' |format=PDF }}
*Paul Yiu: {{Webarchiv |url=http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf |wayback=20110911075029 |text=''Euclidean Geometry Notes'' |format=PDF }}, Florida Atlantic University, S. 87–102

== Einzelnachweise==
<references/>

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Ceva]]

Satz von Ceva - Versionsgeschichte

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