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2024-08-08T11:10:08Z

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[[Datei:Casey new1.svg|mini|hochkant=1.325|Äußere Tangentenabschnitte: <math>t_{23}, t_{34}, t_{24} </math> innere Tangentenabschnitte: <math>t_{12}, t_{13}, t_{14} </math> Tangenten-Außenseiten: <math>t_{12}, t_{23}, t_{34}, t_{14} </math> Tangenten-Diagonalen: <math>t_{13}, t_{24}</math> Casey-Bedingung: <math>t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=t_{13}t_{24}</math>]]
Der '''Satz von Casey''' ist ein nach dem irischen Mathematiker [[John Casey]] benannter Satz der Elementargeometrie. Er stellt eine Erweiterung des [[Satz von Ptolemäus|Satzes von Ptolemäus]] dar und beschreibt, wie sich die [[Tangente]]nabschnitte von vier Kreisen in einer bestimmten Konfiguration verhalten.

:''Seien <math>O_1,O_2,O_3,O_4</math> vier im Uhrzeigersinn nummerierte Kreise, die alle einen fünften Kreis <math>O</math> berühren. Wenn die Kreise <math>O_i</math> und <math>O_j</math> dann <math> O</math> beide von innen oder beide von außen berühren, so sei <math> t_{ij} </math> die Länge eines äußeren Tangentenabschnittes, der die Kreise <math>O_i</math> und <math>O_j</math> verbindet. Wenn die beiden Kreise stattdessen <math> O</math> von innen und außen berühren, dann sei <math> t_{ij} </math> die Länge eines inneren Tangentenabschnittes. Es gilt nun die folgende Beziehung: <math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math>''

Fasst man die Tangentenabschnitte von in der Nummerierung benachbarten Kreise als „Tangenten-Außenseiten“ (schwarz) und die nicht benachbarten als „Tangenten-Diagonalen“ (rot) auf, so lässt sich der Satz auch so formulieren:
:''Die Summe der Produkte der gegenüberliegenden Tangenten-Außenseiten entspricht dem Produkt der Tangenten-Diagonalen''.

Die Gleichung <math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math> wird als ''Casey-Bedingung'' bezeichnet.

== Erweiterungen und Anwendungen ==
Lässt man die Radien der Kreise <math>O_1,O_2,O_3,O_4</math> gegen Null gehen, so gehen sie im Grenzfall zu Punkten auf dem Kreis <math>O </math> über und die Tangentenabschnitte werden zu den Seiten und Diagonalen eines [[Sehnenviereck]]s. Man erhält also den [[Satz von Ptolemäus|Satz des Ptolemäus]] als Grenzfall.

Der Satz von Casey bleibt auch gültig, wenn es sich bei <math> O</math> um einen entarteten Kreis, d. h. einen Punkt (Radius null) oder eine Gerade (Radius unendlich), handelt. Es gelten somit die beiden folgenden Sätze:
{| class="wikitable"
|-
| |
[[Datei:Casey new3.svg|400px]]
| |
[[Datei:Casey new2.svg|400px]]
|-
|''Schneiden sich 4 Kreise in einem Punkt, so gilt die Casey-Bedingung:'' <math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math>
|''Besitzen 4 Kreise eine gemeinsame Tangente, so gilt die Casey-Bedingung:'' <math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math>
|}
Die Umkehrung des Satzes von Casey ist ebenfalls richtig, das heißt, es gilt der folgende Satz:

: ''Erfüllen 4 Kreise die Casey-Bedingung, so trifft einer der drei folgenden Fälle zu:''
:# ''alle 4 Kreise haben einen gemeinsamen Berührkreis''
:# ''alle 4 Kreise haben eine gemeinsame Tangente''
:# ''alle 4 Kreise schneiden sich in einem Punkt.''

== Geschichte ==
[[Datei:Sangaku-casey.svg|mini|250px|Sangaku-Problem (Gunma-Präfektur 1874)]]
Innerhalb der westlichen Mathematik wurde der Satz zuerst von John Casey publiziert, allerdings war ein Spezialfall des Satzes, bei dem die 4 berührenden Kreis zusätzlich in ein Quadrat eingeschrieben sind, auch in der japanischen Mathematik der [[Edo-Zeit|Edo-Periode]] ([[Wasan]]) bekannt. Er ist unter anderem in Form eines [[Sangaku]]-Problems von 1874 aus der [[Präfektur Gunma|Gunma-Präfektur]]<ref>{{MathWorld|id = CaseysTheorem|title = Casey's Theorem|author = Eric Weisstein}}</ref> erhalten geblieben und war auch schon um 1820 dem Mathematiker [[Chochu Siraishi]] bekannt.<ref>Christiane Hartmann: ''[https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/numbertheory/team/steuding-joern Sangaku - Japanische Tempelgeometrie] ([[Microsoft Word|MS Word]]; 3,3 MB)''. (Hausarbeit zum Staatsexamen [[Julius-Maximilians-Universität Würzburg]] 2008) </ref>

== Literatur ==
* Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 121–127 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').
* O. Bottema, Reinie Erne: ''Topics in Elementary Geometry''. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78130-3, Kapitel ''The Theorems of Ptolemy and Casey''.
* Shay Gueron: ''Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem''. The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 4 (April, 2002), S. 362–370 ({{JSTOR|2695499}})
* Shailesh Shirali: [https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=22&issue=2 ''On a generalized Ptolemy Theorem'']. Crux Mathematicorum, Vol. 22, No. 2, S. 49–53

== Weblinks ==
{{commonscat|Casey's theorem}}
* {{MathWorld|id = CaseysTheorem|title = Casey's Theorem|author = Eric Weisstein}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Casy, Satz von]]

Satz von Casey - Versionsgeschichte

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