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Der '''Satz von Bruck–Ryser–Chowla''' ist eine [[Kombinatorik|kombinatorische]] Aussage über mögliche [[Blockplan|Blockpläne]], die ''notwendige'' Bedingungen für deren Existenz angibt.

Der Satz besagt: Wenn ein symmetrischer <math> t-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan existiert, dann gilt
* falls ''v'' gerade ist, dann ist <math>k-\lambda </math> eine [[Quadratzahl]];
* falls ''v'' ungerade ist, dann hat die [[diophantische Gleichung]]<br /> <math>x^2=(k-\lambda)\cdot y^2+(-1)^{\frac{v-1}2}\cdot \lambda \cdot z^2</math><br /> eine nichtverschwindende Lösung <math>(x,y,z)\in \Z^3\setminus \{ (0,0,0)\}. </math>

Der Satz wurde 1949 für den Spezialfall der [[Projektive Ebene|projektiven Ebenen]] von [[Richard Bruck]] und [[Herbert Ryser|Herbert John Ryser]] bewiesen<ref>Bruck und Ryser (1949)</ref> und 1950 mit [[Sarvadaman Chowla]] auf allgemeinere symmetrische Blockpläne verallgemeinert.<ref>Chowla und Ryser (1950)</ref>

== Endliche projektive Ebenen ==
Im Spezialfall eines ''minimalen'' symmetrischen 2-Blockplans mit <math>\lambda=1</math> – also für endliche projektive Ebenen<ref>Das heißt <math>t=2</math> verschiedene „Blöcke“, die in der Geometrie ''Geraden'' genannt werden, haben stets genau einen (<math>\lambda=1</math>) gemeinsamen „Punkt“.</ref> – lässt sich der Satz so formulieren:
: Wenn eine projektive Ebene der Ordnung <math>q</math> existiert und <math>q\equiv 1\pmod 4</math> oder <math>q\equiv 2\pmod 4</math> gilt, dann ist <math>q</math> die Summe von zwei Quadratzahlen (von denen auch eine verschwinden kann).

Fasst man eine endliche projektive Ebene der Ordnung <math>q</math> als speziellen symmetrischen Blockplan auf, dann lauten die Parameter, die den Blockplan beschreiben
: <math> v=q^2+q+1;\quad k=q+1;\lambda=1</math>.
In dieser spezielleren Formulierung für projektive Ebenen wird der Satz auch als '''Satz von Bruck und Ryser''' zitiert.

=== Folgerungen und Beispiele ===
Aus dem Satz folgt dann zum Beispiel, dass es zu den Ordnungen 6 und 14 keine Ebene gibt, er schließt aber nicht die Existenz von Ebenen der Ordnungen <math>10=2\cdot 4+2=3^2+1^2</math> und <math>12\equiv 0 \pmod 4</math> aus. Es konnte gezeigt werden, dass keine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert.<ref>van Lint (1992)</ref> Daraus folgt, dass die Bedingungen im Satz von Bruck-Ryser-Chowla keine ''hinreichenden'' Bedingung für die Existenz von Blockplänen sind.
* Die Ordnungen <math>q=5=4+1; 9=9+0; 13=9+4</math> erfüllen die [[Notwendige und hinreichende Bedingung|notwendige Bedingung]] des Satzes für projektive Ebenen. Tatsächlich existieren Ebenen mit diesen Ordnungen, da sie zugleich Primzahlpotenzen sind.
* Über Ebenen der Ordnung <math>q=27=3^3</math> macht der Satz keine Aussage, da <math>27\equiv 3\pmod 4</math> ist. Da 27 eine [[Primzahlpotenz]] ist, existiert eine Ebene mit dieser Ordnung.

=== Ausgeschlossene Ordnungen ===
Die Folge der Zahlen, die aufgrund des Satzes von Bruck und Ryser nicht Ordnungen einer projektiven Ebene sein können, also die Zahlen <math>n\in\N</math> mit <math>n\equiv 1,2\pmod 4</math>, die nicht Summe von zwei Quadratzahlen sind, bilden die {{OEIS|A046712}}.

Die kleinsten damit ausgeschlossenen Ordnungen sind:<ref>Reinhard Zumkeller: ''Tabelle n, a(n) für n = 1..10000'' gibt die ersten 10000 so ausgeschlossenen Zahlen samt ihrer Nummer in der Zahlenfolge A046712 an: [https://oeis.org/A046712/b046712.txt ASCII-Textdatei], abgerufen am 9. Februar 2012.</ref> 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, 105, 110, 114, 118, 126, 129, 133, 134, 138, 141, 142, 150, 154, 158, 161, 165, 166, 174, 177, 182, 186, 189, 190, 198, 201, 206, 209, 210, 213, 214, 217, 222, 230, 237, 238, …

== Literatur ==
'''Fachartikel'''
* {{Literatur
|Autor=Richard H. Bruck, Herbert John Ryser
|Titel=The nonexistence of certain finite projective planes
|Sammelwerk=[[Canadian Journal of Mathematics]]
|Band=1
|Verlag=Canadian Mathematical Society
|Datum=1949-02-01
|Seiten=88–93
|Online=[http://math.ca/10.4153/CJM-1949-009-2 Abstract mit Link zum englischen PDF-Volltext]
|Abruf=2012-02-08
|DOI=10.4153/CJM-1949-009-2}}
* {{Literatur
|Autor=Sarvadaman Chowla, Herbert John Ryser
|Titel=Combinatorial problems
|Sammelwerk=Canadian Journal of Mathematics
|Band=2
|Verlag=Canadian Mathematical Society
|Datum=1950
|Seiten=93–99}}
* {{Literatur
|Autor=C. W. H. Lam
|Titel=The Search for a Finite Projective Plane of Order 10
|Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
|Band=98
|Nummer=4
|Datum=1991
|Seiten=305–318
|Sprache=en
|Online=[https://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam/ cecm.sfu.ca]
|Abruf=2012-02-08}}
'''Lehrbücher, die in das Themengebiet einführen'''
* {{Literatur
|Autor=Jeffrey H. Dinitz, Douglas Robert Stinson
|Hrsg=J. H. Dinitz and D. R. Stinson
|Titel=A Brief Introduction to Design Theory
|Sammelwerk=Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys
|Verlag=Wiley
|Ort=New York
|Datum=1992
|ISBN=0-471-53141-3
|Kapitel=1
|Seiten=1–12}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jacobus Hendricus van Lint]], R. M. Wilson
|Titel=A Course in Combinatorics
|Auflage=2
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge
|Datum=2001
|ISBN=0-521-80340-3}}
* {{Literatur
|Autor=Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil
|Titel=Diskrete Mathematik
|TitelErg=Eine Entdeckungsreise
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York / …
|Datum=2002
|ISBN=3-540-42386-9
|Kapitel=8: Endliche projektive Ebenen und 11.1: Designs
|Kommentar=Lehrbuch, das wenig Vorkenntnisse – gehobene Schulmathematik bis 2. Semester Mathematikstudium – voraussetzt
|Originaltitel=Invitation to Discrete Mathematics
|Originalsprache=en
|Übersetzer=Hans Mielke
|Online={{DNB|963555103/04}}
|Abruf=2012-02-08}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Beutelspacher]]
|Titel=Einführung in die endliche Geometrie I
|Auflage=2
|Verlag=BI Wissenschaftsverlag
|Ort=Mannheim
|Datum=1983
|ISBN=3-411-01632-9
|Seiten=176–185}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Bruck-Ryser-ChowlaTheorem |title=Bruck–Ryser–Chowla Theorem}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Block_design ''block design''.] In: [[Encyclopaedia of Mathematics]]

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Geometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)|Bruck-Ryser-Chowla, Satz von]]

Satz von Bruck-Ryser-Chowla - Versionsgeschichte

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