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Der '''Satz von Banach-Alaoglu''' (auch '''Satz von Alaoglu''' oder '''Satz von Alaoglu-Bourbaki''' bzw. in einer allgemeineren Version '''Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki''') ist ein Kompaktheitssatz und wird im Allgemeinen dem Gebiet der [[Funktionalanalysis]] zugeordnet, obwohl er eine rein [[Topologischer Raum|topologische Aussage]] enthält und im Wesentlichen aus dem [[Satz von Tychonoff]] folgt.

Er ist nach [[Stefan Banach]] und [[Leonidas Alaoglu]] benannt.

== Der Satz ==
Es sei <math>E</math> ein [[normierter Raum]] und <math>E^{\prime}</math> dessen [[Dualraum|topologischer Dualraum]]. Dann ist die Menge
:<math>M := \{\varphi \in E^{\prime}\,|\,\|\varphi\|_{E^{\prime}} \leq 1 \}</math>
[[Kompakter Raum|kompakt]] bezüglich der [[schwach-*-Topologie]] in <math>E^{\prime}</math>.

== Diskussion ==
Die Bedeutung dieser Aussage ergibt sich vor allem aus dem Vergleich mit dem [[Lemma von Riesz]], wonach die normabgeschlossene [[Einheitskugel]] eines normierten Raumes genau dann kompakt bezüglich der [[Normtopologie]] ist, wenn der Raum endliche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] hat.
Der topologische Dualraum <math>E^{\prime}</math>, also der Raum aller stetigen linearen [[Funktional]]e auf einem normierten Raum <math>E</math>, ist selbst wieder normiert vermöge
:<math>\|\varphi\|_{E^{\prime}} := \sup\{|\varphi(x)|\,|\,x \in E, \, \|x\| \leq 1 \}, \quad \varphi \in E'.</math>
Die normabgeschlossene Einheitskugel in <math>E^{\prime}</math> ist gerade die Menge <math>M</math>. Mit <math>E</math> ist auch <math>E^{\prime}</math> von unendlicher Vektorraumdimension. Angewandt auf <math>E^{\prime}</math> folgt aus dem Lemma von Riesz, dass <math>M</math> im Fall <math>\dim E = \infty</math> nicht normkompakt ist. Wohl aber ist <math>M</math> kompakt in der schwächeren schwach-*-Topologie.

Man beachte an dieser Stelle nochmals, dass zur Konstruktion von <math>M</math> die [[Norm (Mathematik)|Norm]] von <math>E^{\prime}</math> verwendet wird, die Kompaktheit aber nicht in der Normtopologie, sondern in der schwach-*-Topologie gilt.

Im Zusammenhang mit obigem Vergleich lässt sich auch die Einordnung des Satzes von Banach-Alaoglu in den Bereich der Funktionalanalysis begründen, denn erst bei unendlicher Dimension des zugrundeliegenden normierten Raumes ist die Aussage nichttrivial (<math>E</math> und <math>E^{\prime}</math> mit obiger Norm sind im Endlichdimensionalen topologisch [[Isomorphismus|isomorph]], und die schwach-*-Topologie ist gleich der Normtopologie).

Man beachte, dass der Satz von Banach-Alaoglu nicht die [[Lokalkompaktheit]] der schwach-*-Topologie impliziert, denn diese ist gröber als die [[Normtopologie]] und die abgeschlossene Einheitskugel ist keine Nullumgebung. Jeder lokalkompakte [[Topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] ist nämlich endlichdimensional.<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=V. Topological Vector Spaces |Reihe=Elements of Mathematics |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=3-540-42338-9 |Kapitel=I |Seiten=15 |Originaltitel=Éspaces vectoriels topologiques |Originaljahr=1981 |Originalort=Paris |Übersetzer=H. G. Eggleston und S. Madan}}</ref>

== Anwendung ==
Kompakte Mengen sind in der (Funktional-)Analysis immer von großer Bedeutung. Da sie in unendlichdimensionalen normierten Räumen (nach dem oben genannten Lemma von Riesz und allgemeiner der Nicht-Lokalkompaktheit) eher rar sind, der Wechsel zur schwächeren schwach-*-Topologie aber in vielen Situationen keine große Einschränkung bedeutet bzw. diese Topologie auf natürlichem Wege ins Spiel kommt, gibt einem dieser Satz eine Fülle „neuer“ kompakter Mengen an die Hand. Als prominentes Beispiel soll hier der Beweis des [[Satz von Gelfand-Neumark|Satzes von Gelfand-Neumark]] aus der Theorie der [[C*-Algebra|C*-Algebren]] genannt werden, der einen isometrischen Isomorphismus zwischen einer beliebigen kommutativen C*-Algebra <math>A</math> und den stetigen Funktionen <math>C(\Gamma_{A})</math> auf einer kompakten Menge <math>\Gamma_{A}</math> herstellt. Die Kompaktheit der Menge <math>\Gamma_{A}</math> folgt dabei aus einer Anwendung des Satzes von Banach-Alaoglu.

Außerdem ist der Satz von Banach-Alaoglu zentrales Element des Beweises zum Fundamentalsatz der [[Young-Maß]]e. Er erlaubt es, aus einer Folge atomarer Maße eine schwach-*-konvergente Teilfolge auszuwählen.<ref>{{Literatur |Autor=Stefan Müller |Titel=Variational models for microstructure and phase transitions |Sammelwerk=Calculus of Variations and Geometric Evolution Problems: Lectures given at the 2nd Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Cetraro, Italy, June 15–22, 1996 |Reihe=Lecture Notes in Mathematics |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1999 |ISBN=978-3-540-48813-2 |Seiten=85–210 |DOI=10.1007/bfb0092670}}</ref>

== Verallgemeinerungen und andere Formulierungen ==
=== Verallgemeinerung: Satz von Alaoglu-Bourbaki ===
Der Satz von Banach-Alaoglu kann für allgemeinere topologische Vektorräume formuliert werden.

Sei <math>X</math> ein [[lokalkonvexer Raum]]. Für eine Nullumgebung <math>U</math> in <math>X</math> ist
:<math>U^{\circ} := \{\varphi \in X^{\prime}\,|\,\forall\,x \in U \colon \operatorname{Re}(\varphi(x)) \leq 1\}</math>
(die sog. [[Polare Menge|Polare]] von <math>U</math>) eine schwach-*-kompakte Menge.

=== Für Banachräume ===
Die Einheitskugel <math>B^*:=\{ x^*\in X^*\,|\, \|x^*\| \leq 1\}</math> im Dualraum <math>X^*</math> eines Banachraumes <math>X</math> ist schwach-*-kompakt.

=== Für separable Banachräume ===
Die Einheitskugel <math>B^*:=\{ x^*\in X^*\,|\, \|x^*\| \leq 1\}</math> im Dualraum <math>X^*</math> eines separablen Banachraumes <math>X</math> ist mit der schwach-*-Topologie kompakt und auch schwach-*-[[metrisierbar]], weshalb sie damit auch schwach-*-folgenkompakt ist. Das heißt, jede Folge <math>(x_n)_{n\in\N} \subseteq B^*</math> besitzt eine schwach-*-konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math>B^*</math>.<ref>Joseph Diestel: ''Sequences and Series in Banach Spaces.'' 1984, ISBN 0-387-90859-5</ref>

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' Springer, Berlin 1995, ISBN 3-540-59168-0, S. 335 f.
* Herbert Schröder: ''Funktionalanalysis.'' 2. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 93 f.
* Klaus Jänich: ''Topologie.'' 4. Auflage. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-57471-9, S. 201 f.

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |autor=László Erdős |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/WS06/FA/alaoglu.pdf |titel=Banach-Alaoglu theorems |abruf=2013-08-16 |format=PDF; 94 kB}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Banach-Alaoglu]]

Satz von Banach-Alaoglu - Versionsgeschichte

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