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Der mathematische '''Satz von Abel-Ruffini''' besagt, dass die allgemeine [[Polynomgleichung]] fünften oder höheren Grades nicht durch [[Radikal (Mathematik)|Radikale]], d. h. [[Wurzel (Mathematik)|Wurzelausdrücke]], auflösbar ist. Das heißt: Für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt es keine allgemeine, nur arithmetische [[Grundrechenart]]en und Wurzeln verwendende Lösungsformel wie die [[Cardanische Formel]] für [[kubische Gleichung]]en und die wohlbekannte Lösungsformel für [[quadratische Gleichung]]en.

In älterer Literatur wird der Satz von Abel-Ruffini gelegentlich auch als „Abelscher Unmöglichkeitssatz“ bezeichnet.<ref name="KrullAlgebra1">Siehe {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Krull]] |Titel=Elementare Algebra vom höheren Standpunkt |TitelErg=Band I. |Reihe=Sammlung Göschen |BandReihe=930 |Verlag=Walter de Gruyter & Co |Ort=Leipzig |Datum=1939 |Kapitel=Abschnitt VI „Metazyklische und Radikalkörper“, § 36 „Der Abelsche Unmöglichkeitssatz. Allgemeine Gleichung“ |Seiten=118 |Umfang=143}}</ref>

== Geschichte ==
[[Datei:Ruffini - Teoria generale delle equazioni, 1799 - 1366896.jpg|mini|[[Paolo Ruffini (Mathematiker)|Paolo Ruffini]], ''Teoria generale delle equazioni'', 1799]]

Der erste Beweis dieses Satzes wurde von [[Paolo Ruffini (Mathematiker)|Paolo Ruffini]] im Jahr 1799 veröffentlicht. Dieser Beweis war jedoch lückenhaft und wurde zudem weitgehend ignoriert. Ein vollständiger Beweis gelang 1824 [[Niels Henrik Abel]].

Tieferen Einblick in die strukturellen Ursachen der Unmöglichkeit einer Auflösung durch Wurzelausdrücke gewährt die wenig später von [[Évariste Galois]] entwickelte [[Galoistheorie]]. Sie ermöglicht auch Aussagen darüber, unter welchen Umständen zum Beispiel die Lösungen einer konkreten [[Gleichung fünften Grades]] mit rationalen [[Koeffizient]]en durch geschachtelte Wurzelausdrücke ausgedrückt werden können.

Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie müssen zum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:
* Die ''allgemeine Gleichung'' fünften Grades (d. h. die Gleichung mit Unbestimmten als Koeffizienten) besitzt als [[Galoisgruppe]] die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_5</math>
* Die symmetrische Gruppe <math>S_5</math> ist nicht [[Auflösbare Gruppe|auflösbar]], denn sie enthält als einzigen echten Normalteiler die [[alternierende Gruppe]] <math>A_5</math> von der Ordnung 60, und diese ist [[Endliche einfache Gruppe#Definition|einfach]] und nicht von [[Primzahl]]ordnung (also nicht (prim)zyklisch, mithin nicht abelsch).

Da für die Auflösbarkeit einer Gleichung durch Radikale gemäß der Theorie von Évariste Galois gerade die Auflösbarkeit der Galoisgruppe das entscheidende Kriterium darstellt,<ref name="BoschAlgebra">{{Literatur |Autor=[[Siegfried Bosch]] |Titel=Algebra |Auflage=10. |Verlag=Springer |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67463-5 |Kapitel=6 Anwendungen der Galois-Theorie, 6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen, Theorem 6 |Seiten=361 |DOI=10.1007/978-3-662-67464-2 |Umfang=508}}</ref><ref name="KrullAlgebra1" details="Abschnitt VI „Metazyklische und Radikalkörper“, § 35 „Metazyklische Körper und Radikalkörper“, „Fundamentaltheorem“." /> ist also die allgemeine Gleichung fünften Grades (und höher) nicht durch Radikale auflösbar.

== Formulierung des Satzes ==
Das '''allgemeine Polynom''' <math>f(X)</math> '''bzw. die allgemeine Gleichung''' <math>f(X) = 0</math> vom Grade <math>n</math> betrachtet das Polynom <math>f(X) = X^n + s_{1} X^{n-1} + s_2 X^{n-2} + \dots s_{n-1} X + s_n = \prod_{i=1}^n (X - x_i)</math> über dem Körper <math>\mathbb{L} := K(x_1, \dots, x_n)</math> der gebrochen rationalen Polynomen in den Unbestimmten <math>x_i</math>, also über dem [[Quotientenkörper]] des [[Integritätsring]]es der ganzrationalen Polynome (über einem Körper <math>K</math>) in diesen Unbestimmten. Dabei sind die Koeffizienten <math>s_i</math> nicht beliebig gewählte rationale Polynome in den Unbestimmten <math>x_i</math>, sondern es sind die [[Elementarsymmetrisches Polynom|elementarsymmetrischen Polynomen]] <math>s_i(x_1, \dots, x_n)</math> der Nullstellen <math>x_i</math> des Polynoms <math>f(X)</math>. Diese sind algebraisch unabhängig über <math>K</math>.<ref name="vdWaerdenAlgebra1">Vgl. {{Literatur |Autor=[[Bartel Leendert van der Waerden]] |Titel=Algebra I |TitelErg=unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=12 |Auflage=8. Auflage |Datum=1971 |ISBN=3-540-03561-3 |Kapitel=Kapitel VIII ''Die Theorie von Galois'', § 63 ''Die allgemeine Gleichung n-ten Grades'' |Seiten=189f. |Umfang=272}}</ref><ref name="BoschAlgebra" details="Kapitel 4. „Galois-Theorie“ Abschnitt 4.3 „Die Galois-Gruppe einer Gleichung“, Satz 3." /> Aufgrund des [[Elementarsymmetrisches Polynom#Eigenschaften|Hauptsatzes über elementarsymmetrische Funktionen]] besteht der Körper <math>\mathbb{K} := K(s_1, \dots, s_n)</math> aus allen denjenigen rationalen Polynomen („Funktionen“) aus <math>\mathbb{L}</math>, die symmetrisch in den Unbestimmten <math>x_i</math> sind. Das allgemeine Polynom <math>f(X)</math> besitzt also Koeffizienten aus <math>\mathbb{K}</math> und sein [[Zerfällungskörper]] ist <math>\mathbb{L}</math>.

Der '''Satz von Abel-Ruffini''' besagt, dass die Nullstellen des allgemeinen Polynoms <math>f(X)</math> vom Grade <math>5</math> oder höher nicht durch Radikale in <math>\mathbb{K}</math> darstellbar sind.<ref name="vdWaerdenAlgebra1" details="Kapitel VIII „Die Theorie von Galois“, § 63 „Die allgemeine Gleichung n-ten Grades“." /><ref name="BoschAlgebra" details="Kapitel 4. „Galois-Theorie“, Abschnitt 4.3 „Die Galois-Gruppe einer Gleichung“, Satz 4." /><ref name="KrullAlgebra1" details="Abschnitt VI, § 36 „Der Abelsche Unmöglichkeitssatz. Allgemeine Gleichung“, darin der „Struktursatz“ mit nachfolgenden Überlegungen." />

Wie oben erwähnt, genügt (aus moderner Sicht) zum Beweis des Satzes nachzuweisen, dass <math>\mathbb{L}/\mathbb{K}</math> eine Galoiserweiterung ist und seine Galoisgruppe <math>G(\mathbb{L}/\mathbb{K})</math> isomorph zur vollen symmetrischen Gruppe vom Grade <math>n</math>. Da diese nicht auflösbar ist, folgt der Satz von Abel-Ruffini aufgrund von Ergebnissen der [[Galoistheorie]].

== Anmerkungen zur Abgrenzung der Aussage ==
Aus dem Satz von Abel-Ruffini folgt daher ''nicht'' unmittelbar (die scheinbar naheliegende und an sich richtige Tatsache<ref name="vdWaerdenAlgebra1" details="Vgl. hierzu den unten erwähnten Satz von [[van der Waerden]] über ein asymptotisches Verhalten der Galoisgruppe, siehe Kapitel VIII „Die Theorie von Galois“, § 66 „Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit symmetrischer Gruppe“." />), dass beliebige ganzzahlige (<math>R = \Z</math>) oder rationalzahlige (<math>R = \Q</math>) Polynome <math>f(X) \in R[X]</math> grundsätzlich nicht durch Radikale lösbar wären, wenn sie nur „hinreichend allgemein“ gewählt sind<ref name="KrullAlgebra1" details="Vgl. Abschnitt VI, § 36, Fußnote 1." /> – im Gegenteil: Das Auflösbarkeitskriterium der Galois-Theorie zeigt, dass die Nullstellen von Polynomen mit ''auflösbarer'' Galoisgruppe durch Radikale darstellbar sind, das heißt, dass ihre Zerfällungskörper „Radikalkörper“ sind. Mit anderen Worten: Auflösbare Galois-Erweiterungen sind Radikalkörper und jedes Element solcher Körper lässt sich durch Radikale über dem Grundkörper darstellen.

Es gibt Sätze, mit deren Hilfe es, ohne erst die Galoisgruppe bestimmen zu müssen, leicht möglich ist, Polynome anzugeben (oder zu erkennen), die keine auflösbare Galoisgruppe haben und deren Nullstellen folglich nicht durch Radikale dargestellt werden können. Doch diese Sätze folgen nicht etwa aus dem Satz von Abel-Ruffini, sondern aus der Galoistheorie.<ref name="BoschAlgebra" details="Vgl. Kapitel 6 „Anwendungen der Galois-Theorie“, Abschnitt 4.1 „Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen“, Theorem 6, Korollar 8 bis Abschnittsende. Dort ist die Tatsache, dass es nicht auflösbare Gleichungen (Körpererweiterungen) gibt, als Korollar 8 zu Theorem 6 formuliert." />

Laut [[Nathan Jacobson]] („Basic Algebra I“) geht der folgende Satz auf Galois zurück:<ref>{{Literatur |Autor=[[Nathan Jacobson]] |Titel=Basic Algebra I |Verlag=W. H. Freeman and Company |Ort=San Francisco |Datum=1974 |ISBN=0-7167-0453-6 |Kapitel=Chapter 4 ''Galois Theory of Equations'' Section 4.2 ''Galois Group as Permutation Group of the Roots'', Exercise 15 („Galois“) |Seiten=254 |Umfang=472}}</ref><ref name="BoschAlgebra" details="Vgl. auch Kapitel 6 „Anwendungen der Galois-Theorie“, Abschnitt 6.1 „Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen“, Satz 11 und nachfolgende Absätze." />
* Es sei <math>f(X)\in K[X]</math> ein [[irreduzibles Polynom]] von primem Grad <math>\deg f</math> über dem Körper <math>K</math> der Charakteristik Null (beispielsweise ein rationales Polynom) und <math>L</math> sei sein Zerfällungskörper. Dann sind äquivalent:
** <math>f(X)=0</math> ist durch Radikale lösbar.
** <math>L=K[x_i, x_j]</math> für irgend zwei Wurzeln von <math>f(X)</math>.
:Hat also <math>f(X)\in \Q[X]</math> neben zwei reellen Wurzeln eine weitere nicht-reelle (also komplexe Wurzel), so ist die Gleichung <math>f(X)=0</math> zwangsläufig nicht durch Radikale auflösbar.

Der folgende Satz<ref>Siehe [[v:Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt|Wikiversity]]</ref><ref>Siehe {{Literatur |Autor=[[Thomas William Hungerford]] |Titel=Algebra |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=73 |Auflage=1. |Ort=New York |Datum=1974 |ISBN=0-387-90518-9 |Kapitel=Chapter V. „Fields and Galois Theory“, Section 4 „The Galois Group of a Polynomial“, Theorem 4.12, Seite 276 |Sprache=en |Umfang=502 |Zitat=If ''p'' is prime and ''f'' is an irreducible polynomial of degree ''p'' over the field of rational numbers which has precisely two nonreal roots in the field of complex numbers, then the Galois group of ''f'' is (isomorphic to) ''S<sub>p</sub>''.}}</ref> verschärft diese Aussage über <math>K=\Q</math>: Besitzt das irreduzible Polynom <math>f(X)\in \Q[X]</math> von Primzahlgrad <math>q = \deg f</math> genau zwei reelle Wurzeln, so besteht seine Galoisgruppe aus der vollen Permutationsgruppe <math>S_q</math> seiner <math>q</math> Wurzeln.

Ganzzahlige Polynome fünften Grades mit gewissen Eigenschaften besitzen die volle Permutationsgruppe ihrer Wurzeln als Galoisgruppe:<ref name="KrullAlgebra2">{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Krull]] |Titel=Elementare und klassische Algebra |TitelErg=Band II |Reihe=Sammlung Göschen |BandReihe=933 |Verlag=Walter de Gruyter & Co |Ort=Berlin |Datum=1959 |Kapitel=Abschnitt III ''Berechnungsprobleme und Homomorphiesätze'' § 23 ''Endliche Körper'', Satz 6 |Seiten=81 |Umfang=132}}</ref>
* Es sei <math>q</math> eine ungerade Primzahl. Für das Polynom <math>f(X) = X^5 + 2q\, a_1\, X^4 + 2q\, a_2\, X^3 + 2q\, a_3\, X^2 + q\, a_4\, X + q\, a_5</math> mit ganzen Zahlen <math>a_i</math> gelte:
** <math>a_4 \cdot a_3</math> ist ungerade und
** <math>a_5</math> ist kein Vielfaches von <math>q</math>.
: Dann ist die Galoisgruppe <math>G(f(X), \Q)</math> des Polynoms <math>f(X)</math> über <math>\Q</math> isomorph zur vollen symmetrischen Gruppe fünften Grades und daher nicht auflösbar. Daher ist auch die Gleichung <math>f(X) = 0</math> nicht durch Radikale auflösbar.

Der folgende Satz betrachtet gewisse ganzzahlige Polynome von Primzahlgrad:<ref name="KrullAlgebra1" details="Abschnitt III „Berechnungsprobleme und Homomorphiesätze“, § 23 „Endliche Körper“, Satz 7." />
* Es seien <math>q,p</math> Primzahlen. Das irreduzible Polynom <math>f(X)\in\Z[X]</math> besitze den Grad <math>q</math> und das modulo <math>p</math> reduzierte Polynom <math>\overline{f}(X)</math> über dem Galoisfeld <math>\mathbb{F}_p \cong \Z/(p\Z)</math> zerfalle in einen quadratischen und einen Primfaktor vom Grade <math>q-2</math>. Dann ist die Galoisgruppe des Polynoms <math>f(X)</math> nicht auflösbar.

[[Bartel Leendert van der Waerden]]<ref name="vdWaerdenAlgebra1" details="Kapitel VIII „Die Theorie von Galois“, § 66 „Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit symmetrischer Gruppe“." /> notiert in diesem Kontext den folgenden Satz:
* Eine transitive Permutationsgruppe von <math>n</math> Objekten, die einen Zweierzyklus und einen <math>(n-1)</math>-Zyklus enthält, ist die symmetrische Gruppe.
:Mit anderen Worten: Enthält die Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms einen Automorphismus, der lediglich zwei seiner <math>n</math> verschiedenen Wurzeln vertauscht (transponiert), und ferner eine zyklische Untergruppe der Ordnung <math>n-1</math>, so handelt es sich bei der Galoisgruppe des Polynoms um die volle Permutationsgruppe vom Grade <math>n</math>.

Van der Waerden erwähnt, dass man mit dieser Methode nicht nur beweisen kann, „''daß es Gleichungen mit symmetrischer Gruppe gibt, sondern noch mehr, nämlich daß asymptotisch 100 % aller ganzzahligen Gleichungen, deren Koeffizienten eine Schranke <math>N</math>, die gegen <math>\infty</math> strebt, nicht überschreiten, die symmetrische Gruppe haben. Siehe B. L. v. d. Waerden, Math. Ann. 109 (1931), S. 13.“''

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Jörg Bewersdorff]]
|Titel=Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie
|Auflage=5.
|Verlag=Springer Spektrum
|Datum=2013
|ISBN=978-3-658-02261-7
|DOI=10.1007/978-3-658-02262-4}} 
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Pesic]]
|Titel=Abels Beweis
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2005
|ISBN=3-540-22285-5
|DOI=10.1007/978-3-540-27309-7}} 
* {{Literatur
|Autor=[[Jean-Pierre Tignol]]
|Titel=Galois' Theory of Algebraic Equations
|TitelErg=(Reprint)
|Verlag=World Scientific
|Ort=Singapore u. a.
|Datum=2004
|ISBN=981-02-4541-6
|DOI=10.1142/9789812384904}} 
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Krull]]
|Titel=Elementare Algebra vom höheren Standpunkt
|TitelErg=Band I.
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=930
|Auflage=2.
|Verlag=Walter de Gruyter & Co (Erstauflage 1939)
|Ort=Berlin
|Datum=1952
|Umfang=143}}
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Krull]]
|Titel=Elementare und klassische Algebra
|TitelErg=Band II.
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=933
|Auflage=1.
|Verlag=Walter de Gruyter & Co
|Ort=Berlin
|Datum=1959
|Umfang=132}}
* {{Literatur
|Autor=[[Nathan Jacobson]]
|Titel=Basic Algebra I
|Verlag=W. H. Freeman and Company
|Ort=San Francisco
|Datum=1974
|ISBN=0-7167-0453-6
|Kapitel=Kapitel 4 Galois Theory of Equations Abschnitt 4.2 Galois Group as Permutation Group of the Roots Exercise 15 („Galois“)
|Seiten=254
|Umfang=472}}
* {{Literatur
|Autor=[[Siegfried Bosch]]
|Titel=Algebra
|Auflage=10.
|Verlag=Springer
|Datum=2023
|ISBN=978-3-662-67463-5
|DOI=10.1007/978-3-662-67464-2
|Umfang=508}} (Bibliographische Daten abrufbar unter [http://dnb.d-nb.de/ Deutsche Nationalbibliothek])
* {{Literatur
|Autor=[[Bartel Leendert van der Waerden]]
|Titel=Algebra I
|TitelErg=unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether.
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
|BandReihe=12
|Auflage=8.
|Datum=1971
|ISBN=3-540-03561-3
|Kapitel=Kapitel VIII ''Die Theorie von Galois'', § 64 ''Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades'', Satz im Kleindruck
|Seiten=194
|Umfang=272}}
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas William Hungerford]]
|Titel=Algebra
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=73
|Auflage=8.
|Verlag=Springer
|Datum=1980
|ISBN=0-387-90518-9
|Kapitel=Chapter V. „Fields and Galois Theory“
|Sprache=en
|Umfang=528}}
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Abel-Ruffini]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Satz von Abel-Ruffini - Versionsgeschichte

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