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2025-03-12T13:33:10Z

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Der '''Satz vom primitiven Element''' ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] aus der [[Algebra]], der [[hinreichende Bedingung]]en dafür angibt, dass eine [[Körpererweiterung]] eine [[einfache Körpererweiterung]] ist. Sind <math>K \subseteq L</math> Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element <math>a \in L</math> mit <math>L = K(a)</math>, wird ''primitives Element'' genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von [[Évariste Galois|Galois]] vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation<ref>Niels Henrik Abel: ''Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement'', J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131–156</ref> von [[Niels Henrik Abel|Abel]] aus dem Jahre 1829, auf die sich [[Évariste Galois]] in seinem ''Mémoire sur les conditions [...]'' (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat.<ref>[[Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch]]: ''Einführung in die klassische Mathematik I'', Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Seiten 64 f.: Kapitel 7.4 ''Das Galoissche Mémoire zur Gleichungstheorie'' und Kap. 7.5: ''Der Satz vom primitiven Element''</ref>

== Satz ==
Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.<ref>Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260</ref><ref>Kurt Meyberg, ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17</ref>
* Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist einfach, wenn <math>L</math> von der Form <math>L = K(a, c_1, c_2, \ldots, c_n)</math> mit einem über <math>K</math> [[Algebraisches Element|algebraischen Element]] <math>a</math> und über <math>K</math> [[Separables Element|separablen Elementen]] <math>c_1, c_2, \ldots, c_n</math> ist.
* Jede endliche [[separable Körpererweiterung]] ist einfach.

== Bedeutung ==
Insbesondere sind endliche [[Galois-Erweiterung]]en von dieser Form und daher einfach. Ist <math>L=K(a)</math> eine solche Erweiterung, so ist ein Element der [[Galoisgruppe]], das heißt ein <math>K</math>-Automorphismus <math>\sigma</math> von <math>L</Math>, bereits eindeutig durch den Wert <math>\sigma(a)</math> bestimmt. Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden. Darin liegt die Bedeutung dieses Satzes für die Galoistheorie.<ref>Kurt Meyberg, ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: ''Bestimmung einiger Galois-Gruppen''</ref>

== Beispiele ==
* <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist eine Körpererweiterung über <math>\textstyle \Q</math>. Ein mögliches primitives Element <math>\textstyle t \in\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist
:: <math>t = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,
: denn mit
:: <math>t^2 = 5 + 2\sqrt{6}</math>, <math>\quad t^3 = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3} \quad</math> und <math> \quad t^4 = 49 + 20\sqrt{6}</math>
:ergibt sich, dass t [[Nullstelle]] des [[Polynom]]s <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1</math> und damit algebraisch über <math>\textstyle \Q</math> ist.
:Außerdem erhält man die Gleichungen:
:: <math>t^3 - 9 t = 2 \sqrt{2} \quad</math> und <math>\quad t^3 - 11 t = -2 \sqrt{3}</math>.
:Damit lassen sich <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>\textstyle \sqrt{3}</math> durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:
:: <math>\sqrt{2} = \tfrac{1}{2} ( t^3 - 9 t) </math> und <math> \sqrt{3} = -\tfrac{1}{2} (t^3 - 11 t)</math>.
:Also ist
:: <math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})</math>
:und {1, t, t2, t3} eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als [[Vektorraum]] über <math>\textstyle \Q</math>. Eine andere mögliche Basis ist {<math>\textstyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}</math>}, d. h.
::<math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d \in \Q\}</math> .

:Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.
* Das Polynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> hat die Nullstellen <math>\textstyle x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}, \quad x_3 = \sqrt{3}, \quad x_4 = -\sqrt{3}</math> und hat somit <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als [[Zerfällungskörper]]. Wie oben gezeigt, ist <math>\textstyle t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p1, p2, p3, p4 mit der Variablen t1 dargestellt werden:
:: <math>x_1 = p_1(t_1) = \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,
:: <math>x_2 = p_2(t_1) = -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,
:: <math>x_3 = p_3(t_1) = -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,
:: <math>x_4 = p_4(t_1) = \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,
:Das primitive Element t1 ist – wie oben berechnet – Nullstelle des über <math>\textstyle \Q</math> irreduziblen Polynoms <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1 = \left(x^2 - 5\right)^2 - 24</math>. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen – zusammen mit der Beziehung <math>5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} \pm \sqrt{3})^2</math>:

:: <math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}, \quad t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

: Ersetzt man nun in den Polynomen p1, ... p4 die Variable t1 durch t2, t3 oder t4, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x1, x2, x3, x4 des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese [[Permutation]]en der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der [[Galoisgruppe]] auf diesen Nullstellen.<ref>Nieper-Wißkirchen: ''Galoissche Theorie.'' Universität Augsburg, S. 126, Proposition 4.8., {{Webarchiv|url=https://www.math.uni-augsburg.de/de/prof/alg/Downloads/Einfuehrung-in-die-Algebra.pdf|wayback=20190715130507|text=PDF}}</ref>

: Einsetzen von t1 liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

::<math>p_1(t_1) = x_1, \quad p_2(t_1) = x_2, \quad p_3(t_1) = x_3, \quad p_4(t_1) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)</math>,
::<math>p_1(t_2) = x_2, \quad p_2(t_2) = x_1, \quad p_3(t_2) = x_3, \quad p_4(t_2) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_2:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_3,x_4\right)</math>,
::<math>p_1(t_3) = x_1, \quad p_2(t_3) = x_2, \quad p_3(t_3) = x_4, \quad p_4(t_3) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_3:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_4,x_3\right)</math>,
::<math>p_1(t_4) = x_2, \quad p_2(t_4) = x_1, \quad p_3(t_4) = x_4, \quad p_4(t_4) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_4:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)</math>.

:{<math>\textstyle \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4</math>} ist die Galoisgruppe als [[Permutationsgruppe]] der Nullstellen, als Gruppe der [[Körperautomorphismus|Körperautomorphismen]] ergibt sie sich wie folgt:
:Unter <math>\textstyle \sigma_2</math> werden <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>-\sqrt{2}</math> vertauscht werden, entsprechendes gilt bei <math>\textstyle \sigma_3</math> für <math>\textstyle \sqrt{3}</math> und <math>\textstyle -\sqrt{3}</math>. Unter <math>\textstyle \sigma_4</math> ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:

:: <math>\sigma_1':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_2':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} + c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_3':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} - c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_4':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} - c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>.

:Man sieht, dass unter <math>\textstyle \sigma_2'</math> neben dem Grundkörper <math>\textstyle \Q</math> der Körper <math>\textstyle \Q(\sqrt{3})</math> elementweise fest bleibt. Bei <math>\textstyle \sigma_3'</math> und <math>\textstyle \sigma_4'</math> sind die [[Fixkörper]] <math>\textstyle \Q(\sqrt{2})</math> bzw. <math>\textstyle \Q(\sqrt{6})</math>.
:Weil das Ausgangspolynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> nicht irreduzibel über <math>\Q</math> ist, [[Gruppenoperation|operiert]] die Galoisgruppe nicht [[Gruppenoperation#Transitive und scharf transitive Operationen|transitiv]] auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle <math>\sqrt{2}</math> auf die Nullstelle <math>\sqrt{3}</math> abbildet.
* Die [[Algebraisch konjugiert|algebraisch Konjugierten]] des primitiven Elementes <math>t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, also die Nullstellen
:: <math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, <math>t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math> und <math>t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>,
: sind ebenfalls primitive Elemente, d. h. es gilt:
:: <math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = \Q(-\sqrt{2}+\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \Q(-\sqrt{2}-\sqrt{3})</math>.<ref>Nieper-Wißkirchen: ''Galoissche Theorie.'' Universität Augsburg 2013, S. 119, Proposition 4.4., {{Webarchiv|url=https://www.math.uni-augsburg.de/de/prof/alg/Downloads/Einfuehrung-in-die-Algebra.pdf|wayback=20190715130507|text=PDF}}</ref>

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 12|Ein Beweis des Satzes}}

== Literatur ==
* {{Internetquelle |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0004 |autor= [[Niels Henrik Abel]] |titel=Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement |sprache=fr |werk=J. reine angew. Math. Band 4 (1829) |format=PDF; 41,9 MB |abruf=2022-10-25 |seiten=131–156}}
* [[Évariste Galois]]: ''Mémoire sur les conditions de résolubilité des equations par radicaux'', 1831. Erst 1846 veröffentlicht durch [[Joseph Liouville]] in: ''J. math. pures appl.'', vol. 11, (1846), Seiten 417–433.
* [[Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch]]: ''Einführung in die klassische Mathematik I'', Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3.
* [[Kurt Meyberg]]: ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2.
* [[Christian Karpfinger]], Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3.
* {{Internetquelle |url=https://www.uni-augsburg.de/de/fakultaet/mntf/math/prof/alg/lehre/skripte/ |autor=[[Marc Nieper-Wißkirchen]] |titel=Galoissche Theorie – Eine Einführung in die Algebra |titelerg=Universität Augsburg |datum=2013-12-10 |format=PDF; 2,4 MB |abruf=2022-10-25 }} [https://assets.uni-augsburg.de/media/filer_public/40/79/40794080-90af-4f2f-8d54-633c7869f8d0/einfuhrung_in_die_algebra.pdf Direkter Link zum PDF]
* [[Helmut Hasse]]: ''Höhere Algebra II (Gleichungen höheren Grades)'', Walter de Gruyter & Co, Berlin, 1967, Sammlung Göschen Band 932. (Erstauflage 1926/27)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Primitives Element, Satz vom]]

Satz vom primitiven Element - Versionsgeschichte

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