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[[Datei:Beispiel für den Satz vom Maximum und Minimum 3.svg|mini|Eine auf [a,b] definierte stetige Funktion, die ihr Maximum und Minimum annimmt]]
Der '''Satz vom Minimum und Maximum'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Konrad Königsberger]] |Titel=Analysis 1 |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2004 |ISBN=3-540-40371-X |Seiten=90}}</ref> (auch '''Extremwertsatz'''<ref>{{Literatur |Autor=Vladimir A. Zorich |Titel=Analysis I |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=3-540-33277-4 |Seiten=168}}</ref>, '''Satz von Weierstraß'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Adrian Constantin]] |Titel=Analysis I |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-68219-7 |Seiten=189}}</ref>) ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Analysis]], der eine Aussage über die Existenz von Extremwerten trifft. Er besagt, dass jede auf einem [[Kompakte Menge|kompakten]] [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] definierte, [[Reellwertige Funktion|reellwertige]] und [[stetige Funktion]] [[Beschränkte Funktion|beschränkt]] ist und ihr Maximum sowie Minimum annimmt.

Der Satz wird dem deutschen [[Mathematiker]] [[Karl Weierstraß]] zugerechnet. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar.

== Satz vom Minimum und Maximum ==
Der Satz lässt sich in mehreren Fassungen formulieren:
:'''(Ia)''' Jede auf einem kompakten Intervall <math>[a,b] \subset \R \; (a \leq b)</math> definierte stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an.<ref>{{Literatur |Autor=Otto Forster, Florian Lindemann |Titel=Analysis. 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |Seiten=164}}</ref>

Oder ausführlich:
: '''(Ib)''' Ist <math>f \colon [a,b]\to\R</math> eine stetige Funktion, so gibt es stets Argumente <math>\tilde x,\hat x \in [a,b]</math> derart, dass für jedes andere Argument <math>x\in[a,b]</math> die Ungleichung <math>f(\hat x) \leq f(x) \le f(\tilde x)</math> erfüllt ist.

Oder kurz und unter Einbeziehung des [[Zwischenwertsatz]]es:
: '''(II)''' Für jede stetige Funktion <math>f \colon [a,b]\to\R</math> existieren Argumente <math>\tilde x,\hat x \in [a,b]</math> mit <math>f([a,b]) = [f(\hat x),f(\tilde x)]</math>.

== Beweis ==
''Voraussetzung'': Sei <math>f \colon [a,b]\to\R</math> eine stetige Funktion mit <math>a,b\in\R</math> und <math>a \leq b</math>.

<math>M = f([a,b])</math> sei die Menge aller Funktionswerte, die <math>f</math> annimmt.

Die [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>(y_n), y_n \in M</math> und <math>(x_n), x_n \in [a,b]</math> mit jeweils <math>n \in \N</math> heißen '''zugehörig''', wenn für je ein Folgenglied gilt: <math>f(x_n) = y_n</math>.

<math>(x_k)</math> bzw. <math>(y_k)</math> sei eine durch geeignete Auswahl aus <math>(x_n)</math> bzw. <math>(y_n)</math> entstehende [[Teilfolge]], wobei <math>k \in K \subset \N</math>.

A. ''Behauptung'': Jede Folge <math>(y_n)</math> hat eine Teilfolge <math>(y_k)</math>, die gegen ein <math>y_l \in M</math> konvergiert.

Beweis: Die <math>(y_n)</math> zugehörige Folge <math>(x_n)</math> ist wegen <math>x_n \in [a,b]</math> beschränkt. Mit dem [[Satz von Bolzano-Weierstraß]] lässt sich aus <math>(x_n)</math> eine konvergente Teilfolge <math>(x_k)</math> auswählen. Da <math>[a,b]</math> kompakt ist, konvergiert <math>(x_k)</math> gegen ein <math>x_l \in [a,b]</math>. Da <math>f</math> in <math>[a,b]</math> stetig ist, konvergiert die zugehörige Folge <math>(y_k)</math> nach dem [[Stetige Funktion#Stetigkeit reeller Funktionen|Folgenkriterium der Stetigkeit]] gegen <math>y_l = f(x_l) \in M</math>.

B. ''Behauptung'': <math>f</math> ist in [a,b] nach oben [[Beschränktheit|beschränkt]].

Der Beweis wird [[Reductio ad absurdum|indirekt]] geführt. - ''Annahme'': <math>f</math> ist nicht nach oben beschränkt.

Dann gibt es eine [[Monotone reelle Funktion#Definition|streng monoton steigende]] und [[Grenzwert (Folge)|(bestimmt) divergente]] Folge <math>(y_n)</math>.<ref>Ein Beispiel ist die [[Rekursion#Rekursion in der Mathematik|rekursiv definierte]] Folge <math>(y_n)</math>: <math>y_0</math> beliebig, <math>y_n + 1 \leq y_{n+1}</math> beliebig.</ref> Jede Teilfolge <math>(y_k)</math> von <math>(y_n)</math> ist ebenfalls divergent. Das ist widersprüchlich, denn mit A. lässt sich aus <math>(y_n)</math> eine konvergente Teilfolge <math>(y_k)</math> auswählen.

Also ist <math>f</math> nach oben beschränkt, und <math>M</math> hat ein [[Infimum und Supremum|Supremum]] <math>s \in \R</math>.

C. ''Behauptung'': <math>f</math> nimmt in [a,b] ein Maximum an.

Aus geeignet gewählten Elementen von <math>M</math> lässt sich eine Folge <math>(y_n)</math> [[Infimum und Supremum#Erstellung konvergenter Folgen|erstellen]], die gegen das Supremum <math>s</math> von <math>M</math> konvergiert.<ref>Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge <math>(y_n)</math>: <math>y_0</math> beliebig, <math>s \geq y_{n+1} \geq (s +y_n)/2</math>.</ref> Jede Teilfolge <math>(y_k)</math> von <math>(y_n)</math> konvergiert ebenfalls gegen <math>s</math>. Mit A. gibt es eine Teilfolge <math>(y_k)</math> von <math>(y_n)</math>, die gegen <math>y_l = f(x_l) \in M</math> konvergiert. Wegen der [[Grenzwert (Folge)#Eindeutigkeit des Grenzwertes|Eindeutigkeit des Grenzwerts]] ist <math>s = y_l</math> das Maximum der Behauptung.

D. ''Behauptung'': <math>f</math> ist in [a,b] nach unten beschränkt und nimmt dort ein Minimum an.

Zum Beweis ist in B. und C. „oben“ durch „unten“, „steigend“ durch „fallend“, „Supremum“ durch „Infimum“ und „Maximum“ durch „Minimum“ zu ersetzen.<ref>Im Beweis der Existenz des Minimums sind Beispiele für rekursiv definierte Folgen des Beweisgangs: in B. <math>(y_n)</math>: <math>y_0</math> beliebig, <math>y_n -1 \geq y'_{n+1}</math> beliebig, bzw. in C. <math>(y_n)</math>: <math>y_0</math> beliebig, <math>s \leq y_{n+1} \leq (s+y_n)/2</math> beliebig.</ref>

== Bemerkungen ==
* Der Satz ist ein reiner Existenzsatz. Er ist nicht konstruktiv, das heißt, er liefert kein [[Algorithmus|Verfahren]], die Extremalstellen tatsächlich zu bestimmen. Bei differenzierbaren Funktionen können die Methoden der [[Kurvendiskussion]] genutzt werden, um die Extrema einer Funktion zu bestimmen.
* Der Satz vom Minimum und Maximum ist in bestimmtem Sinne charakteristisch für <math>\R</math>. Seine uneingeschränkte Gültigkeit ist gleichwertig mit dem [[Reelle Zahl#Zum Supremumsaxiom gleichwertige Axiome|Supremumsaxiom]].

== Verallgemeinerung ==
Der gleiche Satz - gemäß den Fassungen '' '''(Ia)''' '' oder '' '''(Ib)''' '' - gilt auch noch, wenn anstelle eines kompakten reellen Intervalls ein beliebiger [[Kompakter Raum#Kompaktheit in topologischen Räumen|kompakter]] [[topologischer Raum]] zugrunde gelegt wird: ''Stetige Bilder von kompakten topologischen Räumen unter reellwertigen Funktionen sind innerhalb der reellen Zahlen stets abgeschlossen und beschränkt.''<ref name="HS">Horst Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 62</ref><ref>Der Satz vom Minimum und Maximum lässt sich sogar auf den Fall der [[Halbstetigkeit|halbstetigen Funktionen]] ausdehnen. Siehe [[b:Beweisarchiv: Topologie: Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum|Beweisarchiv]].</ref><ref>Es gibt eine [[Minimallösung#Minimallösungen in der Allgemeinen Topologie und Analysis|weitere Verallgemeinerung]], der auch den Fall der [[Folgenkompaktheit|folgenkompakten Räume]] einbezieht.</ref>

Tatsächlich kann diese Aussage noch weiter verallgemeinert werden: Das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Funktion ist wieder kompakt. Da kompakte Teilmengen von [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] (insbesondere also von <math>\R</math>) immer abgeschlossen und beschränkt sind, folgt sofort die obige Aussage.

Da auch die Bilder [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängender]] topologischer Räume unter stetigen Funktionen wieder zusammenhängend sind und die zusammenhängenden Teilmengen von <math>\R</math> gerade die [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]] sind, stellt sich auch die Fassung '''(II)''' als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Sachverhalts dar.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Otto Forster]]
|Titel=Analysis 2
|Reihe=Grundkurs Mathematik
|Auflage=8., aktualisierte
|Verlag=[[Vieweg+Teubner]]
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8348-9541-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert%2C%20Horst&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Topologie)|Minimum und Maximum]]

Satz vom Minimum und Maximum - Versionsgeschichte

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