imported>Kognitiver: /* Konstruktion reeller Quadratwurzeln */ kl Erg.n

2026-01-29T19:52:33Z

Konstruktion reeller Quadratwurzeln: kl Erg.n

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[[Datei:01 Satz des Thales.gif|rechts|hochkant=1.5|Satz des Thales]]
Der '''Satz des Thales''' ist ein [[Satz (Mathematik)|Theorem]] der [[Geometrie]] und ein Spezialfall des [[Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)|Kreiswinkelsatzes]]. Vereinfacht lautet er: ''Alle von einem [[Halbkreis]] umschriebenen [[Dreieck]]e sind [[Rechter Winkel|rechtwinklig]]''.

Der erste [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] wird dem antiken griechischen [[Mathematiker]] und [[Philosoph]]en [[Thales|Thales von Milet]] zugeschrieben.<ref>[[Diogenes Laertius]]: ''Leben und Meinungen berühmter Philosophen''. Erster Band, Buch I–VI. Verlag von Felix Meiner, Leipzig 1921, S. 12, Ziffer 24; {{archive.org|apeltdiogeneslaertios1sub |Blatt=n39}}</ref> Die Aussage des Satzes war bereits vorher in [[Altes Ägypten|Ägypten]] und [[Babylonien]] bekannt.

== Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung ==
[[Datei:Triangle-thales-circle.svg|mini|hochkant=1.4|[[Halbkreis]] mit [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]]]]
Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden End[[Punkt (Geometrie)|punkten]] des [[Durchmesser]]s eines [[Halbkreis]]es ('''Thaleskreis''') und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein [[rechtwinkliges Dreieck]].

Oder: Liegt der Punkt <math>C</math> eines Dreiecks <math>ABC</math> auf einem Halbkreis über der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>\overline{AB}</math>, dann hat das Dreieck bei <math>C</math> immer einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]].

Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der [[Mittelpunkt]] des [[Umkreis]]es eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der [[Hypotenuse]], also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Oder: Hat das Dreieck <math>ABC</math> bei <math>C</math> einen rechten [[Winkel]], so liegt <math>C</math> auf einem [[Kreis]] mit der [[Hypotenuse]] <math>\overline{AB}</math> als [[Durchmesser]].

== Beweise ==

Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner [[Euklids Elemente|Elemente]] mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her:<ref>[[Thomas Heath]]: ''A History of Greek Mathematics.'' Band 1: ''From Thales to Euclid.'' Dover Publications, New York 1981, ISBN 0-486-24073-8.</ref>

=== Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken ===
* In jedem [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] sind die [[Winkel]] an der Basis gleich.<ref>[[Proklos]]. In: Euklid: ''Die Elemente.'' I,250,20</ref>
* Die [[Winkelsumme|Innenwinkelsumme]] im Dreieck ist 180°.

[[Datei:Thales-circle-triangle.svg|mini|hochkant=1.4|Zerlegung des Dreiecks unter dem [[Halbkreis]] in zwei [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]]. Die [[Winkel]] <math>\gamma</math> und <math>\delta</math> ergänzen sich zu 180°, die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> also zu 90°]]
<math>ABC</math> sei ein Dreieck innerhalb eines [[Kreis]]es mit <math>\overline{AB}</math> als Kreisdurchmesser und dem [[Radius]] ''<math>r</math>''. Dann ist der [[Mittelpunkt]] M der Strecke <math>\overline{AB}</math> auch der [[Kreismittelpunkt]]. Die Streckenlängen <math>\overline{AM}</math>, <math>\overline{BM}</math> und <math>\overline{CM}</math> sind also gleich dem Radius ''<math>r</math>''.

Die Strecke <math>\overline{CM}</math> teilt das Dreieck <math>ABC</math> in zwei Dreiecke <math>AMC</math> und <math>BCM</math> auf, die [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die [[Winkel]] an der Grundseite <math>\overline{AC}</math> bzw. <math>\overline{BC}</math>, sind daher jeweils gleich (<math>\alpha</math> beziehungsweise <math>\beta</math> in der Abbildung).

Die [[Winkelsumme]] im Dreieck <math>ABC</math> beträgt 180°:
:<math>\alpha + \beta + \alpha + \beta = 180^\circ</math>
:<math>2 \cdot (\alpha + \beta) = 180^\circ</math>

Dividiert man diese [[Gleichung]] auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich
:<math>\alpha + \beta \, = \, 90^\circ</math>.

Damit ist gezeigt, dass der [[Winkel]] <math>\alpha+\beta</math>  mit Scheitel <math>C</math> ein [[rechter Winkel]] ist.

Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] eines [[Rechteck]]s gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.

=== Beweis mit Vervollständigung zum Rechteck ===
[[Datei:Thales theorem by refelection1.svg|mini|Der Punkt <math>D</math> entsteht durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] vom Punkt <math>C</math> am [[Durchmesser]] <math>\overline{AB}</math> und an der [[Mittelsenkrechte]]n von <math>\overline{AB}</math>. Das Viereck <math>ACBD</math> ist ein [[Rechteck]].]]
Wird der Punkt <math>C</math> am [[Durchmesser]] <math>\overline{AB}</math> und anschließend an der [[Mittelsenkrechte]]n von <math>\overline{AB}</math> gespiegelt, dann liegt der Bildpunkt <math>D</math> wegen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] auf dem unteren [[Halbkreis]] über der Seite <math>\overline{AB}</math>. Das ist eine [[Punktspiegelung]] am Kreismittelpunkt <math>M</math>. Daher sind die Seiten <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BD}</math> sowie <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] und das [[Viereck]] <math>ACBD</math> ist ein [[Parallelogramm]]. Weil die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> Durchmesser des [[Kreis]]es und daher gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und der [[Winkel]] bei <math>C</math> ein [[rechter Winkel]].

=== Beweis mit kartesischen Koordinaten ===
Der Kreismittelpunkt sei der [[Koordinatenursprung]]. Sind der [[Radius]] <math>r</math> und die Punkte <math>A = (-r, 0)</math>, <math>B = (r, 0)</math> und <math>C = (x, y)</math> mit [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] gegeben, dann gilt nach dem [[Satz des Pythagoras]] <math>x^2 + y^2 = r^2</math>. Wegen <math>(r + x)^2 + y^2 = \overline{AC}^2</math> und <math>(r - x)^2 + y^2 = \overline{BC}^2</math> gilt im [[Dreieck]] <math>ABC</math> die [[Gleichung]]
: <math>\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = ((r + x)^2 + y^2) + ((r - x)^2 + y^2) = 2r^2 + 2(x^2 + y^2) = 4r^2 = \overline{AB}^2</math>.
Aus der Umkehrung des Satzes des Pythagoras folgt, dass das Dreieck <math>ABC</math> im Punkt <math>C</math> [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklig]] ist.

Mit dem [[Satz des Pythagoras]] kann auch gezeigt werden, dass das [[Skalarprodukt]] der [[Vektor]]en <math>\vec{AC} </math> und <math>\vec {CB}</math> gleich Null ist:

Es ist <math>\vec{AC} = \binom{x_C}{y_C} \ominus \binom {-r}{0} = \binom {r+x_C}{y_C}</math> und <math>\vec{CB}=\binom{r}{0}\ominus \binom {x_C}{y_C} = \binom{r-x_C}{-y_C}</math>.

:<math>\vec{AC} \odot \vec{CB} = (r+x_C) \cdot (r-x_C)-{y_C}^2 = r^2 - {x_C}^2 - {y_C}^2 \ \stackrel{\text{Satz des Pythagoras}}{=}\ 0 = \overline{AC} \cdot \overline {CB} \cdot \cos(\measuredangle ACB) </math>,

woraus folgt, dass der [[Sinus und Kosinus|Kosinus]] des Winkels im Punkt <math>C</math> gleich Null ist und somit das Dreieck <math>ABC</math> einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] in <math>C</math> hat.

=== Trigonometrischer Beweis ===
Sind der [[Winkel]] <math>\beta</math>, der [[Radius]] <math>r</math> und die Punkte <math>A = (-r, 0)</math>, <math>B = (r, 0)</math> mit [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] gegeben, dann hat der Punkt <math>C</math> die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>C = (r \cdot \cos(\beta), r \cdot \sin(\beta))</math>. Die Seite <math>\overline{AC}</math> hat die [[Steigung]]
:<math>\frac{r \cdot \sin(\beta) - 0}{r \cdot \cos(\beta) - (-r)} = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta) + 1}</math>
und die Seite <math>\overline{BC}</math> hat die Steigung
:<math>\frac{r \cdot \sin(\beta) - 0}{r \cdot \cos(\beta) - r} = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta) - 1}</math>.
Wegen <math>\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1</math> ist das Produkt der Steigungen gleich
:<math>\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta) + 1} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta) - 1} = \frac{\sin^2(\beta)}{\cos^2(\beta) - 1} = \frac{\sin^2(\beta)}{-\sin^2(\beta)} = -1</math>.
Daraus folgt, dass die Seiten <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math> zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]] sind und einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bilden.

Einen weiteren Beweis findet man hier: [[b:Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel|Wikibooks: Beweisarchiv]].

== Anwendungen ==
=== Konstruktion einer Kreistangente ===
[[Datei:Thales' Theorem Tangents.svg|mini|hochkant=1.6|Konstruktion der [[Kreistangente]]n]]
Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion]] der beiden [[Tangente]]n an einen [[Kreis]] <math>k</math> durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P</math>.

Gegeben sei der [[Radius]] <math>r</math> des [[Kreis]]es <math>k</math> mit seinem [[Mittelpunkt]] <math>O</math> sowie der [[Abstand]] des Punktes <math>P</math> von <math>O</math>. Vom Punkt <math>T</math> wissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis <math>k</math>, liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke <math>OPT</math> einzeichnen.

Da die obere durch <math>P</math> verlaufende [[Tangente]] <math>t</math> den Kreis <math>k</math> genau im Punkt <math>T</math> berührt, muss das Dreieck <math>OPT</math> einen rechten Winkel am Punkt <math>T</math> haben ([[Kreistangente|Grundeigenschaft der Kreistangente]]), oder anders formuliert: Die Strecke <math>\overline{OT}</math> muss senkrecht auf der Tangente <math>t</math> stehen.

Um ein Dreieck <math>OPT</math> zu finden, das auch [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklig]] ist, ermitteln wir von der Strecke <math>\overline{OP}</math> den [[Mittelpunkt]] <math>H</math> mithilfe der [[Streckensymmetrale|Mittelsenkrechten]], zeichnen einen Kreis mit dem [[Radius]] <math>\overline{HO}</math> um den Mittelpunkt <math>H</math> und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite <math>\overline{OP}</math>, deren dritter [[Eckpunkt]] auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck <math>OPT</math>.

Der [[Berührung (Mathematik)|Berührpunkt]] <math>T</math> kann deshalb nur der [[Schnittpunkt]] des Kreises <math>k</math> mit dem hellgrauen Kreis sein. Durch Verbinden von <math>P</math> mit <math>T</math> erhält man nun die gesuchte Tangente <math>t</math> (in der Zeichnung rot).

Es existiert eine zweite, [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrische]] [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] in der unteren Hälfte des [[Kreis]]es. Die [[Tangente]] <math>t'</math> (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt <math>T'</math>.

==== Riemengetriebe ====
{{Hauptartikel|Riemengetriebe}}
Bei den zwei folgenden Anwendungen [[Riemengetriebe#Offen|(offenes]] bzw. [[Riemengetriebe#Gekreuzt|gekreuztes]] Riemengetriebe) wird jeweils ein Hilfskreis <math>k_3</math> (grün) in bzw. um die größere der beiden Riemenscheiben erstellt. An diesen werden die vom Mittelpunkt <math>M_2</math> der kleineren Riemenscheibe ausgehenden Tangenten gemäß obiger Beschreibung ermittelt. Die an beiden Scheiben anliegenden Tangenten sind Parallelen der den Hilfskreis berührenden.

<div style="float:left;">[[Datei:01 Tangenten-2 Kreise.svg|mini|hochkant=1.6|Konstruktionsskizze für offenes Riemengetriebe, <br />Der Radius <math>r_3</math> des Hilfskreises <math>k_3</math> (grün) ergibt sich aus der [[Subtraktion]] der beiden Kreisradien: <math>r_3=r_1 - r_2.</math>]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 Tangenten-2 Kreise-gekreuzt.svg|mini|hochkant=1.6|Konstruktionsskizze für gekreuztes Riemengetriebe<br />Der Radius <math>r_3</math> des Hilfskreises <math>k_3</math> (grün) ergibt sich aus der [[Summe]] der beiden Kreisradien: <math>r_3=r_1 + r_2.</math>]]</div>
{{Absatz}}

=== Konstruktion reeller Quadratwurzeln ===
Mithilfe des Satzes des Thales, des [[Höhensatz]]es und des [[Kathetensatz]]es (beide von [[Euklid]]) lassen sich die folgenden [[Quadratwurzel]]n konstruieren:<ref>{{Internetquelle |autor=Klaus Pommerening |url=https://web.archive.org/web/20230418025654/https://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/MathMisc/Konstr.pdf#page=8&zoom=90,-275,804 |titel=Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal – ein Vorspiel zur Galois-Theorien |titelerg=Abbildung 8: Quadratwurzel aus einer Strecke (Höhensatz) |hrsg=Universität Mainz |datum=2020-04 |seiten=8 |format=PDF |sprache=de |abruf=2024-12-01}}</ref>
* <math> \sqrt{q}</math> aus <math> q > 0</math> und <math>\sqrt{c}</math> aus <math> c > 1</math> (siehe ''Zahl größer als 1'').
* <math>\sqrt{p\cdot q}</math> aus <math> c = 1,\; \sqrt{q}</math> aus <math> q < 1</math> und <math> \sqrt{p}</math> aus <math> p < 1</math> (siehe ''Zahl kleiner als 1'').

==== Zahl größer als 1 ====
[[Datei:01-Konstruktion Quadratwurzel.svg|mini|hochkant=1.6|Zahl größer als 1: Konstruktion von <math>\sqrt{q}</math> und <math>\sqrt{c}</math> mit Zirkel und Lineal]]

Soll die [[Quadratwurzel]] einer [[Reelle Zahl|reellen Zahl]], die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in <math>p</math>- und <math>q</math>-Anteile, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt. Im [[Prinzip]] sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Strecke <math>\overline{BD}</math> mit Länge <math>p = 1</math> auf einer hier nicht näher bezeichneten [[Gerade]]n. Ist die gegebene Zahl <math>q</math> eine [[ganze Zahl]], wird das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] <math>q\cdot \overline{BD}</math> ab dem Punkt <math>D</math> auf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl <math>q = 8</math>, wird die Strecke <math>\overline{BD}</math> achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt <math>A</math> bringt die [[Hypotenuse]] <math>c = p + q</math> des entstehenden [[Dreieck]]s <math>ABC</math>.

Ist <math>q</math> eine [[reelle Zahl]], besteht u. a. auch die Möglichkeit, <math>q</math> mithilfe des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|dritten Strahlensatzes]] zu [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal#Algebraische Operationen|konstruieren]].

Es folgen die [[Orthogonalität|Senkrechte]] auf <math>c</math> im [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>D</math> und die Halbierung der Seite <math>c</math> in <math>M</math>. Abschließend wird der Thaleskreis um <math>M</math> gezogen.

* Nach dem [[Höhensatz des Euklid]] gilt <math>h^2 = p \cdot q</math>, daraus folgt <math>h^2 = 1 \cdot q</math>,
: somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks <math>ABC</math> gleich der Quadratwurzel aus <math>q</math>.

* Nach dem [[Kathetensatz des Euklid]] gilt <math>a^2 = p\cdot c,</math> daraus folgt <math>a^2 = 1\cdot c,</math>
: somit ist die Seitenlänge <math>a</math> des rechtwinkligen Dreiecks <math>ABC</math> gleich der Quadratwurzel aus <math>c</math>.

==== Zahl kleiner als 1 ====
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck Halbkreis r-0.5.svg|mini|hochkant=1.4|Zahl kleiner als 1: Konstruktion von <math>\sqrt{p\cdot q},\; \sqrt{q}</math> und <math>\sqrt{p}</math> mit Zirkel und Lineal]]

Ist die [[Quadratwurzel]] einer Zahl, die kleiner als <math>1</math> ist, gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.

Es beginnt ab dem Punkt <math>A</math> (Wert <math>0</math>) mit einer [[Halbgerade]]n. Darauf wird die Strecke <math>\overline{AB}</math> mit Länge <math>1</math> und die Strecke <math>\overline{AE}</math> mit Länge <math>0{,}1</math> bestimmt. Dabei ergibt sich die [[Hypotenuse]] <math>c</math> des entstehenden Dreiecks <math>ABC.</math> Hat die gegebene Dezimalzahl <math>q</math> nur ''eine'' [[Nachkommastelle]], wird das Produkt <math>q\cdot \overline{AE}</math> ab dem Punkt <math>A</math> abgetragen; d. h. ist z. B. <math>q = 0{,}8</math> wird die Strecke <math>\overline{AE}</math> achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende [[Schnittpunkt]] <math>D</math> bringt <math>c = p + q.</math>

Wenn die gegebene Dezimalzahl <math>q</math> ''mehr als eine'' Nachkommastelle hat, z. B. <math>q = 0{,}86</math>, besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im Abschnitt ''[[#Zahl größer als 1|Zahl größer als 1]]'' darauf hingewiesen, <math>q</math> mithilfe des dritten [[Strahlensatz]]es zu konstruieren.

Es folgen die [[Orthogonalität|Senkrechte]] auf die Strecke <math>\overline{AB}</math> im Punkt <math>D</math> und die Halbierung der Seite <math>c</math> in <math>M.</math> Abschließend wird der Thaleskreis (Radius <math> = 0{,}5</math>) um <math>M</math> gezogen.

* Nach dem Höhensatz des Euklid gilt <math>h^2 = p\cdot q,</math>
: somit ist die Höhe <math>h</math> des rechtwinkligen Dreiecks <math>ABC</math> gleich der [[Quadratwurzel]] aus <math>p \cdot q</math>.
: Wegen <math> h = \sqrt{p\cdot q}</math> gilt auch:
: Im rechtwinkligen Dreieck <math>ABC</math> ist die Länge <math>h</math> das [[Geometrisches Mittel|geometrische Mittel]] der Längen <math>p</math> und <math>q</math>.

* Nach dem [[Satz des Pythagoras]] gilt für die Seitenlänge <math>b</math>:
::<math>b^2 = q^2 + p\cdot q</math>, darin ist <math>p = 1- q </math>, damit ergibt sich
::<math>b^2 = q^2 + q\cdot \left(1-q \right)</math>
::<math>b^2 = q^2 + q - q^2\Rightarrow </math>
::<math>b = \sqrt{q},</math>
: somit ist die Seitenlänge <math>b</math> des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] <math>ABC</math> gleich der [[Quadratwurzel]] aus <math>q</math>.

: Für die Seitenlänge <math>a:</math>
: Mit den entsprechenden Werten für die Seitenlänge <math>a</math> ergibt sich
::<math>a = \sqrt{p},</math>
: somit ist die Seitenlänge <math>a</math> des rechtwinkligen Dreiecks <math>ABC</math> gleich der Quadratwurzel aus <math>p.</math>

== Siehe auch ==
* [[Quadratur des Rechtecks]]

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
* Hans Schupp: ''Elementargeometrie'' (= ''Uni-Taschenbücher'' 669). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 41.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Thales' theorem|Satz des Thales}}
* [http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch3.pdf Euklids Beweis (Satz III.31).] (PDF; 530 kB) Deutsch von Rudolf Haller.
* [https://www.walter-fendt.de/html5/mde/thalescircle_de.htm Interaktive Grafik zum Verständnis.] Walter Fendt

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Thales, Satz von]]

[[es:Teorema de Tales#Segundo teorema]]
[[he:משפט תאלס#המשפט השני]]

Satz des Thales - Versionsgeschichte

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