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2025-12-23T15:43:38Z

HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

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Ein '''Satz''' oder '''Theorem''' ist in der [[Mathematik]] eine [[widerspruchsfrei]]e [[logische Aussage]], die mittels eines [[Beweis (Mathematik)|Beweises]] als [[Wahrheit|wahr]] erkannt, das heißt, aus [[Axiom]]en, Definitionen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet. Innerhalb eines Artikels oder einer [[Monografie]] (z. B. einer Dissertation oder einem Lehrbuch) verwendet man
* '''Lemma''' (oder [[Hilfssatz]]) für eine Aussage, die nur im Beweis anderer Sätze im gleichen Werk verwendet wird und unabhängig davon keine Bedeutung hat,
* '''Proposition''' für eine ebenfalls hauptsächlich lokal bedeutsame Aussage, etwa einen Hilfssatz, der in mehr als einem Beweis verwendet wird,
* ''Satz'' (oder ''Theorem'') für eine wesentliche [[Erkenntnis]], die im Werk dargestellt wird, und
* [[Korollar]] (oder ''Folgesatz'') für eine [[trivial]]e Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.

Die Einordnung eines Satzes in eine der oben genannten Kategorien ist subjektiv und hat keine Folgen für die Verwendung des Satzes. Viele Autoren verzichten auf den Begriff ''Proposition'' und setzen dafür ''Lemma'' oder ''Satz'' ein. Auch ''Korollar'' wird nicht immer von ''Satz'' unterschieden. Dagegen ist es durchaus üblich und für den Leser hilfreich, wenn reine Hilfssätze als solche erkennbar sind.

Sätze, die allgemein bekannt sind und in der Regel nicht mit der Originalquelle zitiert werden, tragen den Namen des Gegenstandes, über den sie eine Aussage machen, oder den Namen des Urhebers oder beides. In diesem Zusammenhang werden auch die Begriffe '''Fundamentalsatz''' oder '''Hauptsatz''' (eines Gebiets der Mathematik) verwendet, und die Unterscheidung zwischen ''Satz'' und ''Lemma'' ist oft eher historisch gewachsen als durch Inhalt und Bedeutung bestimmt. Viele Beispiele solcher Namen finden sich in der [[Liste mathematischer Sätze]].

== Beispiele für Sätze ==
Im Folgenden sind einige einfache Sätze aufgelistet. Der zu verwendende [[Kalkül]] ist in Klammern angegeben.

#Wenn jeder Mensch sterblich ist und [[Sokrates]] ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. ([[Prädikatenlogik]]).
#Jede nicht-leere [[Menge (Mathematik)|Menge]] besitzt mindestens ein [[Element (Mathematik)|Element]]. ([[Mengenlehre]])
#Die [[Summe]] der [[Innenwinkel]] eines [[Dreieck]]s beträgt 180 [[Grad (Winkel)|Grad]]. ([[Euklidische Geometrie]])
#Zu jeder [[reelle Zahl|reellen Zahl]] gibt es eine größere [[natürliche Zahl]]. ([[archimedische Ordnung]], [[Analysis]])
#Es gibt keine [[rationale Zahl]], deren [[Quadratfunktion|Quadrat]] 2 ist. ([[Zahlentheorie]])
#Es seien <math>f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> [[Stetige Funktion|stetig]]. Dann ist auch <math>f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> stetig. (Analysis)

== Aufbau ==
=== Formulierung ===
Obschon ein mathematischer Satz aus einer [[logische Aussage|Aussage]] beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht ''V'' oder ''A''.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im [[Konjunktiv]] formulierte ''Voraussetzung'' und die als [[Aussagesatz]] formulierte ''Aussage'' gegliedert (Beispiel: „Sei ''V''. Dann gilt ''A''.“), so dass der Eindruck einer [[Implikation]] entsteht.

Vorsicht: Durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes können Fehlschlüsse entstehen, da diese Teile im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen.

==== Beispiele ====
# „<math>n \notin \mathbb{N} \quad\vee\quad n \mbox{ ist nicht prim} \quad\vee\quad n=2 \quad\vee\quad n \mbox{ ist ungerade}</math>“
# „Sei ''n'' eine [[Primzahl]]. Für ''n'' gilt: <math>n=2 \quad\vee\quad n \in 2\cdot\mathbb{N} + 1</math>“
# Aus der ebenen Geometrie: „''Wenn ein echtes [[Viereck]] ein [[Parallelogramm]] ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.''“ (Hierbei bedeutet „echtes Viereck“, dass ausgeartete und überschlagene Vierecke von der Betrachtung ausgeschlossen sind).
# „''Der Fahrpreis zwischen zwei Stationen im Verkehrsverbund X ist eine [[Metrischer Raum|Metrik]] auf der Menge der Stationen.''“ Das ist eine mathematische Aussage, denn der Fahrpreis ist durch die Tarifbestimmungen eindeutig definiert, und der Begriff ''Metrik'' in der Mathematik. Wenn die Aussage in einem Verkehrsverbund richtig ist (meistens, aber nicht immer), ist sie ein aus den Axiomen im Tarif beweisbarer Satz.
# „''Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.''“ Das ist kein Satz im mathematischen Sinne schon wegen der fehlenden Definitionen von ''regnen'' und ''Straße'' und der möglichen Abhängigkeit von weiteren Bedingungen.

=== Umkehrsatz ===
{{Weiterleitungshinweis|Umkehrsatz|Über den Satz zur lokalen Umkehrbarkeit siehe [[Diffeomorphismus#Satz über die Umkehrabbildung]].}}

Vertauscht man in einem Satz ''Voraussetzung'' und ''Aussage'' des Satzes, erhält man den zugehörigen ''Umkehrsatz'' oder auch ''Kehrsatz''<ref group="A">Unter dem Namen [[Kehrsatz]] findet man auch eine [[Gemeinde]] in der [[Schweiz]], was indes nichts weiter zu bedeuten hat.</ref>. Das sind [[logische Aussage]]n der Form „''Voraussetzung ⇐ Aussage''“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden:
* Wenn der Umkehrsatz kein Satz – also falsch – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichend, aber nicht notwendig]].
* Wenn der Umkehrsatz ein Satz – also zutreffend – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem ''Voraussetzung'' und ''Aussage'' des Satzes [[Logische Äquivalenz|logisch äquivalent]] sind (Beispiel: „''V gilt <u>genau dann, wenn</u> A gilt''“).

==== Beispiele ====
# „''Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.''“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die ''Voraussetzung des Satzes'' „''es hat geregnet''“ ist somit ''hinreichend, aber nicht notwendig''.
# „''Wenn in einem echten Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.''“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die ''Voraussetzung des Satzes'' ist ''notwendig und hinreichend''. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „''Ein echtes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.''“

==== Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage ====
Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in ''Voraussetzung'' und ''Aussage'' aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.

Die logische Aussage <math>\lnot A \lor \lnot B \lor C</math> lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:
# <math>(A \land B) \Rightarrow C</math> − Umkehrsatz: <math>C \Rightarrow (A \wedge B) \quad\equiv\quad (A\vee \neg C) \wedge (B \vee \neg C)</math>
# <math>A \Rightarrow (\lnot B \lor C)</math> – Umkehrsatz: <math>(\lnot B \lor C) \Rightarrow A \quad\equiv\quad (A \vee B) \wedge (A\vee \neg C) </math>
Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind.

== Literatur ==
* [[Albrecht Beutelspacher]]: ''Das ist o. B. d. A. trivial!''. Vieweg+Teubner Verlag, 9. Auflage (2009), ISBN 3-834-80771-0

== Siehe auch ==

* [[Theorem]]
* [[Liste mathematischer Sätze]]

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

[[Kategorie:Satz (Mathematik)| ]]

Satz (Mathematik) - Versionsgeschichte

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