imported>Mathze: /* Eindimensionaler Fall */ Redundanzreduktion

2025-10-23T18:43:41Z

Eindimensionaler Fall: Redundanzreduktion

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[[Datei:X Cubed.svg|mini|Sattelpunkt von <math>y = x^3</math> in (0,0)]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet man als '''Sattelpunkt''' (auch '''Terrassenpunkt'''<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Tietze |Titel=Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik |Auflage=18. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-60331-4 |Seiten=336}}</ref>, '''Horizontalwendepunkt'''<ref>{{Literatur |Autor=Bernd Luderer, Uwe Würker |Titel=Einstieg in die Wirtschaftsmathematik |Auflage=10. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2024 |ISBN=978-3-658-43299-7 |Seiten=313}}</ref>) einen [[Wendepunkt]] mit waagerechter Tangente. Sattelpunkte spielen beispielsweise eine große Rolle bei der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung unter Nebenbedingungen]] bei Verwendung der [[Lagrange-Dualität]].

== Eindimensionaler Fall ==
[[Datei:x-dot-absx.svg|mini|Sattelpunkt von <math>y = x \cdot |x|</math> in (0,0)]]
Für Funktionen einer Veränderlichen <math>f\colon U \to \mathbb{R}</math> mit <math>U\subseteq\mathbb R</math> ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle <math>x_0</math>
: <math>f\,'(x_0)=0 </math>
eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle ungleich null, so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muss die 2. Ableitung null sein, wenn sie existiert. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung (für zweimal stetig differenzierbare Funktionen), wie man an der Funktion <math>f(x)=x^4</math> sieht.

Umgekehrt gilt (hinreichende Bedingung): Sind die ersten beiden Ableitungen gleich null und die 3. Ableitung ungleich null, so liegt ein Sattelpunkt vor; es handelt sich also um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Dieses Kriterium lässt sich verallgemeinern: Gilt für ein <math>n \in \mathbb{N}</math>
:<math>f'(x_0)=f''(x_0)=\dotsb=f^{(2n)}(x_0)=0 \wedge f^{(2n+1)}(x_0) \neq 0,</math>
sind also die ersten <math>2n</math> Ableitungen gleich null und die <math>(2n+1)</math>-te Ableitung ungleich null, so hat der Graph von <math>f</math> bei <math>x_0</math> einen Sattelpunkt.

Die genannte Bedingung ist allerdings nicht notwendig. Auch wenn ein Sattelpunkt an der Stelle <math>x_0</math> vorhanden ist, können alle Ableitungen <math>f^{(n)}(x_0)</math> gleich null sein.

=== Beispiel für eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) mit zwei Sattelpunkten ===
[[Datei:Two saddle points.svg|mini|Ganzrationale Funktion 5. Grades mit zwei Sattelpunkten in (−2, −34) und (1, 47)]]

Bereits [[ganzrationale Funktion]]en 5. Grades können zwei Sattelpunkte haben, wie folgendes Beispiel zeigt:

: <math>f(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 - 20x^2 + 40x + 30</math>

Denn die 1. Ableitung hat die beiden doppelten Nullstellen −2 und 1:

: <math>f'(x) = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 - 40x + 40 = 10 (x+2)^2 (x-1)^2</math>

Für die 2. Ableitung

: <math>f''(x) = 40x^3 + 60x^2 - 60x - 40</math>

sind −2 und 1 ebenfalls Nullstellen, jedoch ist die 3. Ableitung

: <math>f'''(x) = 120x^2 + 120x - 60</math>

dort ungleich Null:

: <math>f'''(-2) = f'''(1) = 180</math>

Deshalb sind <math>S_1(-2|-34)</math> und <math>S_2(1|47)</math> Sattelpunkte der Funktion <math>f</math>.

== Mehrdimensionaler Fall ==
[[Datei:Saddleroute3.JPG|mini|Sattelpunkt (rot) im Fall <math>U\subseteq\mathbb{R}^2</math>]]
=== Spezifikation über Ableitungen ===
Für Funktionen mehrerer Veränderlicher ([[Skalarfeld]]er) <math>F\colon U \to \mathbb{R}</math> mit <math>U\subseteq\mathbb{R}^n</math> ist das Verschwinden des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] an der Stelle <math>x_0</math>
:<math>\nabla F(\vec{x}_0)=0</math>
eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Die Bedingung bedeutet, dass an der Stelle <math>\vec x_0</math> alle partiellen Ableitungen null sind.
Ist zusätzlich die [[Hesse-Matrix]] [[Definitheit|indefinit]], so liegt ein Sattelpunkt vor.

=== Spezifikation direkt über die Funktion ===
Im generischen Fall – das bedeutet, dass die zweite Ableitung in keiner Richtung verschwindet oder, äquivalent, die Hessesche Matrix invertierbar ist – hat die Umgebung eines Sattelpunktes eine besondere Gestalt.
Für den Fall, dass ein solcher Sattelpunkt mit den [[Kartesisches Koordinatensystem|Koordinatenachsen]] ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben:
Ein Punkt <math>(x^*,y^*)\in U</math> ist ein Sattelpunkt der Funktion <math>F</math>, falls eine offene Umgebung <math>V\subseteq U</math> von <math>(x^*,y^*)</math> existiert, sodass
[[Datei:Sattelpunkt im 3D- Raum.webm|mini|hochkant=1.5|Sattelpunkt im dreidimensionalen Raum (Animation)]]

:<math>F(x,y^*) \leq F(x^*,y^*) \leq F(x^*,y)</math> bzw. <math>F(x^*,y) \leq F(x^*,y^*) \leq F(x,y^*)</math>
für alle <math>(x,y)\in V</math> erfüllt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionswert von <math>F</math> in <math>x</math>-Richtung kleiner wird, sobald der Sattelpunkt verlassen wird, während ein Verlassen des Sattelpunktes in <math>y</math>-Richtung ein Ansteigen der Funktion <math>F</math> zur Folge hat (bzw. umgekehrt).
Diese Beschreibung eines Sattelpunktes ist Ursprung der Namensgebung: Ein [[Reitsattel]] neigt sich senkrecht zur Wirbelsäule des [[Hauspferd|Pferdes]] nach unten, stellt also die <math>x</math>-Richtung dar, während er in <math>y</math>-Richtung, d. h. parallel zur Wirbelsäule, nach oben ausgeformt ist. Nach dem Reitsattel ist auch der [[Bergsattel]] benannt, dessen Gestalt ebenfalls der Umgebung eines Sattelpunkts entspricht.

Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer [[Koordinatentransformation]] ein.

Sattelpunkte dieses Typs existieren in Dimension 1 nicht: Falls hier die zweite Ableitung nicht verschwindet, liegt automatisch ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vor. Den Beispielen aus Dimension 1 entsprechen degenerierte kritische Punkte, wie zum Beispiel der Nullpunkt für die Funktion <math>f(x,y) = x^2</math> oder für <math>f(x,y) = x^2 + y^3</math>: In beiden Fällen existiert eine Richtung, in der die zweite Ableitung verschwindet, und entsprechend ist die Hessesche Matrix nicht invertierbar.

=== Beispiele ===
Die Funktion
:<math>F(x,y) = (1-x^2)\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right)\quad \textrm{in} \quad \{(x,y)\in \mathbb{R}\times [0,\infty)\}</math>
hat den Sattelpunkt <math>(0,1)</math>: Ist <math>y=1</math>, so ist
<math>F(x,1) = 1 - x^2 \leq 1 = F(0,1)</math>
für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>. Für <math>x = 0</math> ergibt sich
: <math>F(0,y) = 1+\frac{1}{4}(y-1)^2 \geq 1 = F(0,1)</math>.

Dass <math>(0,1)</math> ein Sattelpunkt von <math>F</math> ist, lässt sich auch über das ''Ableitungskriterium'' beweisen. Es ist
:<math>\nabla F(x,y) = \left[-2x\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right),(1-x^2)\frac{y-1}{2}\right],</math>
und nach Einsetzen von <math>(x,y)=(0,1)</math> ergibt sich <math>\nabla F(0,1)=\vec{0}</math>. Die Hesse-Matrix zu <math>F</math> ist
:<math>H(x,y) = \begin{pmatrix}-2-\frac{(y-1)^2}{2} & -x(y-1)\\ -x(y-1) & \frac{1-x^2}{2}\end{pmatrix}</math>,
und nach Einsetzen des Sattelpunktes <math>(x,y)=(0,1)</math>:
:<math>H(0,1) = \begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.</math>
Da ein [[Eigenwert]] von <math>H</math> positiv ist <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)</math> und einer negativ <math>(-2)</math>, ist die Hesse-Matrix indefinit, was nachweist, dass tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt.

== Sonstige Verwendung ==
Für die Definition im Fall von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen siehe [[Autonome Differentialgleichung]].

== Siehe auch ==
* [[Extremwert]]
* [[Kurvendiskussion]]
* [[Sattelpunktproblem]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Variationsrechnung]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Sattelpunkt - Versionsgeschichte

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