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2026-04-28T16:23:15Z

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Die lineare '''Sandwichtheorie''' beschreibt das Verhalten eines [[Sandwichbauweise|aus drei Schichten bestehenden Balkens]] unter [[Belastung (Physik)|Belastung]]. Es handelt sich um eine Erweiterung der statischen [[Balkentheorie #Theorie Erster Ordnung: Statik|Balkentheorie erster Ordnung]].

Von Bedeutung ist die lineare Sandwichtheorie für die [[Auslegung (Technik)|Auslegung]] und den Nachweis von [[Sandwichpaneel|Sandwichplatten]], wie sie im [[Hochbau|Hoch-]], [[Fahrzeugbau|Fahrzeug-]] und [[Flugzeugbau]] und sehr häufig in der [[Kältetechnik]] verwendet werden.

Die Bezeichnung stammt von dem ebenfalls aus mehreren Schichten bestehenden [[Zwischenmahlzeit#Imbiss|Imbiss]] namens [[Sandwich]].

== Voraussetzungen ==
* Sandwichquerschnitte sind [[Verbundwerkstoff|Verbund]]<nowiki/>querschnitte. Sie bestehen aus einem mäßig [[Steifigkeit #Schubsteifigkeit|schubsteifen]] Kern, der mit zwei außenliegenden [[Steifigkeit #Dehnsteifigkeit|dehnsteifen]] Deckschichten [[Schubfestigkeit|schub]]- und [[Zugfestigkeit|zugfest]] verbunden ist.
* Die Deckschichten können jeweils [[Steifigkeit #Biegesteifigkeit|biegesteif]] sein.
* Die Schichten genügen jede für sich der Anforderung an die Ebenheit des Querschnittes, der Gesamtquerschnitt jedoch nicht.

== Grundzüge ==
Balken mit Sandwichquerschnitten verhalten sich unter Lasteinwirkung anders als Balken mit gleichmäßig elastischem Querschnitt:
* Neben den elastischen Verformungen der gegeneinander verspannten und gegebenenfalls [[Profil (Ornamentik)|profilierten]] Deckschichten tritt die Schubdurchsenkung, die der mäßig schubsteife Kern verursacht.
* Wenn eine oder zwei Deckschichten profiliert sind, sind die Teil[[Schnittreaktion|schnittgrössen]] unbestimmt.
* Temperaturdifferenzen zwischen den Deckschichten bleiben aufgrund der thermischen Trennung durch das Kernmaterial bestehen. Sie führen durch die unterschiedliche [[Wärmedehnung|Längsdehnung]] der Deckschichten zu einer [[Krümmung]] des Sandwichbalkens in Richtung der wärmeren Deckschicht. Soweit diese [[Verformung]] durch Zwischen[[auflager]] oder die Biegesteifigkeit der Deckschichten behindert wird, kommt es zur [[Zwängung]].

[[Datei:Verformung und Schnittgroessen am Sandwichquerschnitt.svg|mini|Abbildung 1 – Gleichgewichtszustand eines verformten Sandwichbalkens unter Auflast- und Temperatureinwirkung im Vergleich zum unverformten Querschnitt]]
Unter der Annahme, dass die Teilquerschnitte jeder für sich der [[Bernoullische Annahmen|bernoullischen Hypothese]] genügen, kann das Gleichgewicht am verformten Sandwichbalkenelement formuliert werden, um daraus die Biegegleichung des Sandwichdurchlaufträgers abzuleiten.

Die Schnittgrößen und die korrespondierenden Verformungen des Balkens und des Querschnittes können Abbildung 1 entnommen werden. Nach der [[Elastizitätstheorie]] ergeben sich die Zusammenhänge:<ref>K. Stamm, H. Witte: ''Sandwichkonstruktionen - Berechnung, Fertigung, Ausführung''. Springer-Verlag, Wien - New York 1974.</ref><ref name="Schwarze">Knut Schwarze: „Numerische Methoden zur Berechnung von Sandwichelementen“. In ''Stahlbau''. 12/1984, {{ISSN|0038-9145}}.</ref>

:<math>\begin{alignat}{2}
M_S &= B_S(\gamma'_2 &&+ \vartheta)\\
&= B_S(\gamma' - w'' &&+ \vartheta)\\
Q_S &= A \gamma\\
M_D &= -B_D w''\\
Q_D &= -B_D w'''
\end{alignat}</math>

mit folgenden Bezeichnungen:
{| class="wikitable"
|-
| <math>w</math> || colspan="2" | Durchsenkung des Durchlaufträgers
|-
| <math>\gamma</math> || Schubwinkel des Kerns || <math>\gamma = \gamma_1 + \gamma_2</math>
|-
| <math>\gamma_1</math> || Verdrehung der Deckschichten bezogen auf das Lot der [[Biegelinie]] || <math>\gamma_1 = w'</math>
|-
| <math>\gamma_2</math> || colspan="2" | Verdrehung der geraden Verbindung der Deckschichtschwerpunkte
|-
| <math>M_S</math> || colspan="2" | Sandwich- oder [[Steinerscher Satz|Steineranteil]] des [[Biegemoment]]es
|-
| <math>B_S</math> || colspan="2" | Sandwich- oder Steineranteil der Biegesteifigkeit
|-
| <math>M_D</math> || colspan="2" | Biegemoment der Deckschicht(en)
|-
| <math>B_D</math> || colspan="2" | Biegesteifigkeit der Deckschicht(en)
|-
| <math>Q_S</math> || colspan="2" | Sandwichanteil der [[Querkraft]], also Querkraft im Kern
|-
| <math>Q_D</math> || colspan="2" | Querkraftanteil der Deckschichten
|-
| <math>A</math> || Schubsteifigkeit des Kernes
|-
| colspan="3" | Das Fehlen des Index zeigt die Summe von Sandwich- und Deckschichtanteil<br />als Größe des gesamten Querschnittes an.
|-
| <math>\vartheta</math> || durch Temperaturgefälle bedingte Krümmung || <math>\vartheta = \frac{\alpha(T_o - T_u)}e</math>
|-
| <math>\alpha</math> || colspan="2" | [[Temperaturausdehnungskoeffizient]] der Deckschichten
|}
Durch Umformen können die Differentialgleichungen für den Sandwichdurchlaufträger ermittelt werden:

:<math>\begin{alignat}{2}
&Q = Q_S + Q_D = A \gamma &&- B_D w'''\\
&M = M_S + M_D = B_S(\gamma' + \vartheta) &&- B w''
\end{alignat}</math>

In der Literatur ist ebenfalls die entmischte Darstellung gebräuchlich:
:<math>\begin{alignat}{3}
&-\frac{B_D}A w^{IV} + \frac B{B_S}w'' &&= - \frac M B_S &&&- \frac q A - \vartheta \\
&-\frac{B_D}A \gamma'' + \frac B{B_S}\gamma &&= &&&-+\frac Q A
\end{alignat}</math>

== Lösungsansätze ==
Der Sandwichdurchlaufträger ist im Allgemeinen durch die Überzahl der [[Gleichgewichtsbedingungen]] [[statisch unbestimmt]].

Dazu kommt – bei biegesteifen Deckschichten – die innere Unbestimmtheit hinsichtlich der Verteilung der [[Schnittreaktion|Schnittgrößen]] auf [[Normalkraft|Normalkräfte]] und [[Biegung (Mechanik)|Biegung]] in den Deckschichten.

=== Analytische Lösungen ===
Durch Ausnutzung der [[Randbedingung|Rand-]] und Übergangsbedingungen können die [[Differentialgleichung]]en für jeden einzelnen Fall analytisch gelöst werden. Derartige Lösungen werden z. B. in DIN EN 14509:2006<ref name="EN14506">DIN EN 14509 (D): ''Selbsttragende Sandwich-Elemente mit beidseitigen Metalldeckschichten''. Februar 2007.</ref> mitgeteilt (Tabelle E10.1); sie können ohne weiteres für die Berechnung einfacher Systeme verwendet werden (Zweifeldträger unter Gleichlast etc.). Darüber hinaus können Lösungen durch die Anwendung der Energiemethode (Kraftweggrößenverfahren) ermittelt werden.

=== Numerische Verfahren ===
Die Differentialgleichungen der Sandwichdurchlaufträger können mit numerischen Verfahren gelöst werden. Das geschieht
* durch [[Differenzenrechnung]] oder
* nach der [[Methode der finiten Elemente]] (FEM).

Für die Differenzenrechnung teilt Berner<ref name="Berner">Klaus Berner: ''Erarbeitung vollständiger Bemessungsgrundlagen im Rahmen bautechnischer Zulassungen für Sandwichbauteile''. Fraunhofer IRB Verlag, Stuttgart 2000 (Teil 1).</ref> einen zweistufigen Ansatz mit:
* Lösung der [[Differenzengleichung]] für die Normalkräfte in den Deckblechen für einen [[Einfeldträger]] unter beliebiger Belastung
* danach wird das Verfahren der Kraftweggrößen eingesetzt, um den Ansatz auf die Berechnung von Mehrfeldträgern auszuweiten.

Mit dem Programm swe1 wird das Differenzenverfahren für Mehrfeldträger mit gleichmäßig elastischem Querschnitt um die Anteile der Schubdurchsenkung und der Verformung aus Temperaturdifferenzen der Deckschalen erweitert. Dabei wird der Umstand ausgenutzt, dass die
Partialdurchsenkungen des Sandwichdurchlaufträgers mit biegeweichen Deckschichten superponiert werden können. Das Verfahren ist dementsprechend auf diese Teilmenge der Sandwichquerschnitte beschränkt.

Für die Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen der Sandwichdurchlaufträger können
[[Finite Elemente#Bekannte FEM-Programme|FEM-Programme]] verwendet werden, unter der Bedingung,
dass sie mit Volumenelementen umgehen können.

Ein speziellerer Ansatz wird von Schwarze<ref name="Schwarze" /> mitgeteilt:<br />
Durch Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (2) unter Anwendung des Zusammenhanges
:<math>Q' = -q\,</math>
kann folgende Gleichung angeschrieben werden:
:<math>
w^{IV} + \left(\frac{\lambda}{l}\right)^2 w'' = \left(\frac{\lambda}{l}\right)^2 \frac{M}{B} + \frac{1+\alpha}{\alpha}\;\frac{q}{B} -\left(\frac{\lambda}{l}\right)^2 \frac{\vartheta}{1+\vartheta}\quad\quad(3)\,
</math>
unter Verwendung der Abkürzungen:
:<math>
\lambda^2=\frac{1+\alpha}{\alpha\beta};\quad
\alpha=\frac{B_D}{B_S};\quad
\beta=\frac{B_S}{Al^2};
</math>
Schwarze gibt die allgemeine Lösung für den homogenen Teil <math>w_h</math> der Gleichung (3) an.
Zudem entwickelt er unter Ausnutzung der Gleichgewichtsbedingungen einen Polynomansatz zur
Bestimmung des Partikularintegrals für <math>w_p</math>.

Mit der Forderung
:<math>w = w_h + w_p\,</math>
wird durch Überlagerung der Anteile eine Funktion für <math>w(x)</math> mitgeteilt, die neben den
vier Integrationskonstanten <math>C_i</math> die Randmomente
<math>M_L</math> und <math>M_R</math> als Faktoren aufweist.

Durch dreifaches Ableiten und durch Ausnutzung des Zusammenhanges nach Gleichung (3)
lassen sich ebenfalls aus den vorgenannten sechs Faktoren gebildete Funktionen für
<math>w'(x)</math>, <math>w''(x)</math>, <math>w'''(x)</math>,
<math>\gamma(x)</math> und <math>\gamma'(x)</math> angeben.
Für die Berechnung eines Sandwichdurchlaufträgers kann dieser in Bereiche eingeteilt werden,
in denen die unbekannten Funktionen und ihre Ableitungen stetig sind.

Der vorgenannte Ansatz ist im Programmsystem swe2 erweitert worden.
Die Implementierung steht [[Open Source|quelloffen]] zur Verfügung.

== Praktische Bedeutung ==
Die nach der linearen Sandwichtheorie vorhergesagten Ergebnisse stimmen mit
experimentell ermittelten Ergebnissen hinreichend überein.

Die lineare Sandwichtheorie ist die Grundlage für den [[Standsicherheitsnachweis]] bei der
Errichtung von ausgedehnten mit [[Sandwichpaneel]]en bekleideten und eingedeckten Industrie- und Gewerbebauten.
Ihre Anwendung wird in den [[bauaufsicht]]lich erteilten Zulassungen und in der entsprechenden
Fachnorm<ref name="EN14506" /> ausdrücklich gefordert. Sie repräsentiert den [[Stand der Technik]].

== Literatur ==
* Klaus Berner, Oliver Raabe: ''Bemessung von Sandwichbauteilen''. IFBS-Schrift 5.08, [http://www.ifbs.de/ IFBS e.V.], Düsseldorf 2006.
* Ralf Möller, Hans Pöter, Knut Schwarze: ''Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen''. Band 1, Ernst & Sohn, Berlin 2004, ISBN 3-433-01595-3
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht'', Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 627–632, ISBN 978-3-433-03134-6.

== Weblinks ==
* http://www.swe1.com/ Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (Open Source)
* http://www.swe2.com/ Berechnung von Sandwich-Durchlaufträgern (Open Source)

== Siehe auch ==
* [[Sandwichpaneel]]
* [[Sandwichbauweise]]
* [[Sandwichplatte mit Wabenkern]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Balkentheorie]]
[[Kategorie:Konstruktionslehre]]
[[Kategorie:Fertigteilbau]]

Sandwichtheorie - Versionsgeschichte

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