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[[Datei:Salinon 1.svg|mini|Das Salinon (blau) …]]
[[Datei:Salinon 2.svg|mini|… und der rote Kreis sind flächengleich.]]

Das '''Salinon''' (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“<ref>Zur Namensherkunft vgl. [https://archive.org/details/werke00arch/page/21/mode/1up ''Archimedes’ Werke.''] Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.</ref>) ist eine aus vier [[Halbkreis]]en gebildete, [[Achsensymmetrie|spiegelsymmetrische]] [[geometrische Figur]]. Sie wurde erstmals vermutlich durch [[Archimedes]] in seinem ''[[Buch der Lemmata]]'' beschrieben.

== Konstruktion ==

<math>O</math> sei der Ursprung eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]]. Auf der <math>x</math>-Achse liegen außen die beiden Punkte <math>A</math> und <math>B</math> (jeweils mit gleichem Abstand zu <math>O</math>) und innen die Punkte <math>D</math> und <math>E</math> (ebenfalls mit gleichem Abstand zu <math>O</math>); damit ist <math>\overline{AD} = \overline{EB}</math>. Man errichte einen Halbkreis über <math>AB</math>, sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über <math>AD</math> und <math>EB</math>. Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter <math>DE</math>. Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die <math>y</math>-Achse in den Punkten <math>C</math> und <math>F</math>.

== Eigenschaften ==

[[Datei:Salinon shaded.svg|120px|mini|Salinon]][[Datei:Arbelos.svg|120px|mini|Arbelos]]
Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als [[Satz (Mathematik)|Satz]] 14 in seinem ''Buch der Lemmata'' unter Bezug auf ''[[Euklids Elemente]]'', Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises (<math>\frac{\overline{AB}}{2} = \overline{AO}</math>) mit <math>R</math> und den des kleinen, mittleren Halbkreises (<math>\frac{\overline{DE}}{2} = \overline{DO}</math>) mit <math>r</math>, so gilt für die Fläche <math>A</math> des Salinon:

:<math>A=\frac{1}{4}\pi\left(R+r\right)^2.</math>

''Beweis:''
:Aus dem Ansatz
::<math>A=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi R^2}{2}-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2</math>
:folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.

Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser <math>\overline{CF}</math> (rot in der Abbildung) denselben [[Flächeninhalt]] hat wie das Salinon.

''Beweis:''
:Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius <math>R</math> des Halbkreises über <math>AB</math> und dem Radius <math>r</math> des Halbkreises über <math>DE</math>, also beträgt sein Radius
::<math>\frac{R+r}{2}</math>
:und somit seine Flächenmaßzahl
::<math>\pi\left(\frac{R+r}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\pi\left(R+r\right)^2</math>.

Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:
* Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur <math>x</math>-Achse (darunter <math>C</math> und <math>F</math>) bilden ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]].
* Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter <math>DE</math> zu Null wird (die Punkte <math>D</math> und <math>E</math> also in <math>O</math> zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur <math>y</math>-Achse spiegelsymmetrischen [[Arbelos]] über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

== Siehe auch ==
* [[Arbelos]]

== Literatur ==
* Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{MathWorld |id=Salinon |title=Salinon}}
* Alexander Bogomolny: [https://www.cut-the-knot.org/proofs/Lemma.shtml Salinon: From Archimedes’ ''Book of Lemmas''.] In: ''Cut The Knot'' (englisch)
* Jürgen Köller: [https://www.mathematische-basteleien.de/salinon.htm Salinon]. In: ''Mathematische Basteleien''

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Archimedes]]

Salinon - Versionsgeschichte

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