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2020-03-31T21:37:57Z

Abgrenzungen zu weiteren Modellen

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Als '''SIS-Model''' bezeichnet man in der mathematischen [[Epidemiologie]], einem Teilgebiet der [[Theoretische Biologie|Theoretischen Biologie]], einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei [[Mathematische Modellierung der Epidemiologie]].

== Voraussetzungen ==
[[Datei:SIS.PNG|mini|323x323px|Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.]]
Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt <math>t</math> bezeichnet <math>S(t)</math> die Anzahl der Gesunden ('''s'''usceptible individuals) und <math>I(t)</math> die Zahl der Infizierten ('''i'''nfectious individuals). Weiterhin sei <math>N</math> die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

* Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
* Infizierte sind sofort ansteckend.
* Gesunde erkranken mit der linearen Rate <math>c</math>.
* Infizierte genesen mit der linearen Rate <math>\omega</math>.
* Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
* Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also <math>S(t),I(t)\in[0,\infty)</math>.

== Differentialgleichungen des SIS-Modells==
Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:
[[Datei:Sissys.png|mini|299x299px|Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.]]
<math display="block"> \begin{align}
\frac{\mathrm{d}S} {\mathrm{d}t} &= -cIS + \omega I\\
\frac{\mathrm{d}I} {\mathrm{d}t} &= cIS -\omega I .
\end{align} </math>Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

<math display="block">\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)=\text{const.}</math>

Wegen <math>S(t)=N-I(t)</math> lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

<math display="block">\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega)I-cI^2</math>beschreiben. Definiere <math>A=cN-\omega</math>, wodurch sich die DGL als <math>\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=(A-cI)I</math> schreiben lässt.

=== Lösungen der Differentialgleichung ===
Durch Trennung der Variablen folgt: <math>\frac{\mathrm{d}I}{(A-cI)I}=\mathrm{d}t</math>, woraus durch eine einfache [[Partialbruchzerlegung]] und Integration die Funktion <math>I(t)</math> mit der Anfangsbedingung <math>I(0)=I_0>0</math> folgt:<math display="block">I(t)=\frac{AI_0e^{At}}{A+cI_0\left(e^{At}-1\right)}.</math>Die Zahl der Gesunden <math>S(t)</math> folgt durch <math>S(t)=N-I(t)</math> aus der Lösung für <math>I(t)</math>.

=== Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen ===
Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: <math> u_1 := \frac{S}{N} , u_2 := \frac{I}{N} , \theta = \omega t, r:= \frac{cN}{\omega}</math><math display="block"> \begin{align}
\frac{du_1} {d\theta} &= -ru_1u_2 + u_2\\
\frac{du_2} {d\theta} &= ru_1u_2 - u_2
\end{align} </math>

Die Änderung <math> \frac{du_2} {d\theta} </math> kann nach oben abgeschätzt werden durch: <math> \frac{du_2} {d\theta} = ru_2 - u_2 = (r-1)u_2 </math>.

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt <math> (\frac{1}{r},1-\frac{1}{r})</math> angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

== Abgrenzungen zu weiteren Modellen ==
Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:
* Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum [[SI-Modell]] dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
* Eine alternative Erweiterung ist das [[SIR-Modell]], bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

== Siehe auch ==
*[[SI-Modell]] (Ansteckung ohne Gesundung)
*[[SIR-Modell]] (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
*[[SEIR-Modell]] (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
*[[Basisreproduktionszahl]]
* [[Dynamisches System]] (mathematischer Oberbegriff)

== Literatur ==
* Nicholas F. Britton: ''Essential Mathematical Biology''. Springer
*Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. ([http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/Seminar3/moehler.pdf tu-Freiburg] [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).

[[Kategorie:Theoretische Biologie|Sis-Modell]]
[[Kategorie:Epidemiologie]]

SIS-Modell - Versionsgeschichte

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