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2025-09-29T02:18:21Z

Spektrallinien-Serien

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[[Datei:Rydbergformula.jpg|mini|Die Rydberg-Formel in einem [[Manuskript]] von Johannes Rydberg]]
Die '''Rydberg-Formel''' (auch '''Rydberg-Ritz-Formel''') wird in der [[Atomphysik]] benutzt, um das [[Elektromagnetisches Spektrum|Linienspektrum]] des vom [[Wasserstoff]] [[Spontane Emission|emittierten]] Lichtes zu bestimmen. Sie zeigt, dass die [[Bindungsenergie]] des [[Elektron]]s im Wasserstoffatom [[Reziproke Proportionalität|umgekehrt proportional]] zum [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] der [[Hauptquantenzahl]] ist.

Die Formel wurde am 5. November 1888 vom [[Schweden|schwedischen]] [[Physiker]] [[Johannes Rydberg]] vorgestellt; auch [[Walter Ritz]] arbeitete an ihr.

Korrekturen aufgrund von [[Drehimpuls]]en oder [[relativistisch]]en Effekten werden in der Rydberg-Formel ''nicht'' berücksichtigt. Später wurde sie erweitert, um das Spektrum anderer [[Chemisches Element|Elemente]] zu bestimmen (s. u. Erweiterungen).

== Rydberg-Formel für Wasserstoff ==
=== Formulierung ===
Die Rydberg-Formel lautet:
:<math>\frac 1 {\lambda_{\mathrm{vac}}} = R_\infty \left( \frac 1 {n_1^2}-\frac 1 {n_2^2} \right)</math>

Dabei sind
* <math>\lambda_{\mathrm{vac}}</math> die [[Wellenlänge]] des Lichts im [[Vakuum]]
* <math>R</math> die Rydberg-Konstante für das betrachtete Wasserstoff-Isotop: <math>R = \tfrac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_\mathrm e}{M}} </math> mit
** <math>M</math> die [[Kernmasse]] des vorliegenden Wasserstoff-[[Isotop]]s
** <math>m_\mathrm e</math> die Masse des Elektrons
** <math>R_\infty</math> die [[Rydberg-Konstante]] für unendliche Kernmasse. Da
::<math>\begin{align}
m_\mathrm e \, & \ll M \\[4pt]
\Rightarrow \frac{m_\mathrm e} M & \ll 1 \quad
(
\mathrm{Quotient} \approx
\tfrac{1}{1835} \mathrm{\;bei\;leichtem\;Wasserstoff,\;}
\tfrac{1}{3670} \mathrm{\;bei\;Deuterium\;und\;}
\tfrac{1}{5497} \mathrm{\;bei\;Tritium}
) \\
\Rightarrow 1 + \frac{m_\mathrm e} M & \approx 1\\[4pt]
\Rightarrow R \; & \approx R_{\infty}
\end{align}</math>
* <math>n_1</math> und <math>n_2</math> ganzzahlige Werte der [[Hauptquantenzahl]] (mit <math>n_1 < n_2</math>): <math>n_2</math> ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit <math>n_1</math> übergeht – also etwa vom dritten Orbit <math>n_2 = 3</math> in den zweiten <math>n_1 = 2</math> (siehe [[Bohrsches Atommodell]]).

=== Energie ===
Für die Energie des emittierten [[Photon]]s gilt:

:<math>E = \frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} \cdot c \cdot h</math>

mit
* [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> im Vakuum
* [[Plancksche Konstante|Planckscher Konstante]] <math>h</math>.

Entsprechend gilt für die Energiestufen der beiden o. g. Orbits im Atom (siehe [[Rydberg-Energie #Anwendung|Rydberg-Energie]]):

: <math>E_1 = \frac R {n_1^2} \cdot c \cdot h</math>
: <math>E_2 = \frac R {n_2^2} \cdot c \cdot h</math>.

Mit <math>n_1 < n_2</math> folgt daraus:

: <math>\Rightarrow E_1 > E_2</math>.

Nachdem die Bedeutung der Hauptquantenzahl <math>n</math> im [[Term]] <math>\tfrac R {n^2}</math> für die Energieniveaus erkannt worden war, bürgerten sich die Begriffe [[Termsymbol]] und [[Termschema]] für damit zusammenhängende Werkzeuge ein.

=== Spektrallinien-Serien ===
Mit <math>n_1 = 1</math> ([[Grundzustand]]) und <math>n_2 \in (2...\infty)</math> erhält man eine Serie von [[Spektrallinie]]n, die auch [[Lyman-Serie]] genannt wird. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121 nm, die Seriengrenze liegt bei 91 nm. Analog ergeben sich die anderen Serien:
{| class="wikitable float-left" style="white-space:nowrap"
|-
! rowspan="2" | <math>n_1</math>
! rowspan="2" | <math>n_2</math>
! rowspan="2" | Name
! colspan="2" | Wellenlänge
|- style="line-height:110%"
! des ersten Übergangs (α-Linie)
! konvergiert gegen Grenzwert
|-
| {{0}}1
| 2 bis <big>∞</big>
| [[Lyman-Serie]]
|style="text-align:right"| 121 nm
|style="text-align:right"| 91,13 nm
|-
| {{0}}2
| 3 bis <big>∞</big>
| [[Balmer-Serie]]
|style="text-align:right"| 656 nm
|style="text-align:right"| 364,51 nm
|-
| {{0}}3
| 4 bis <big>∞</big>
| [[Paschen-Serie]]
|style="text-align:right"| 1.874 nm
|style="text-align:right"| 820,14 nm
|-
| {{0}}4
| 5 bis <big>∞</big>
| [[Brackett-Serie]]
|style="text-align:right"| 4.051 nm
|style="text-align:right"| 1458,03 nm
|-
| {{0}}5
| 6 bis <big>∞</big>
| [[Pfund-Serie]]
|style="text-align:right"| 7.456 nm
|style="text-align:right"| 2278,17 nm
|-
| {{0}}6
| 7 bis <big>∞</big>
| [[Humphreys-Serie]]
|style="text-align:right"| 12.365 nm
|style="text-align:right"| 3280,56 nm
|}
[[Datei:Wasserstoff-Termschema.svg|mini|hochkant=2.15|rechts|[[Energieniveau]]s des Wasserstoffatoms mit nach Serien geordneten Übergängen]]

<div style="clear:both;"></div>

== Erweiterungen ==
=== Für wasserstoffähnliche Atome ===
Für [[Wasserstoffähnliches Ion|wasserstoffähnliche Ionen]], d. h. Ionen, die nur ein einziges Elektron besitzen, wie z. B. 2He+, 3Li2+, 4Be3+ oder 11Na10+, lässt sich obige Formel erweitern zu:

: <math>\frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} = Z^2 \cdot R_\infty \left( \frac{1}{{n'}_1^2} - \frac{1}{{n'}_2^2} \right)</math>

mit
* der [[Kernladungszahl]] <math>Z</math>, d. h. der Anzahl der [[Proton]]en im [[Atomkern]]
* die um den [[Quantendefekttheorie|Quantendefekt]] <math>\delta_n</math> korrigierten [[Effektive Hauptquantenzahl|effektiven Hauptquantenzahlen]] <math>n'_i = n_i - \delta_n</math>.

=== Für Atome mit einem Valenzelektron ===
Eine weitere Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die in ihrer [[Valenzschale|äußersten Schale]] ein einzelnes Elektron besitzen, darunter aber evtl. weitere Elektronen in [[Oktettregel|abgeschlossenen Schalen]], führt zum [[Moseleysches Gesetz|Moseleyschen Gesetz]].

== Literatur ==
* Joseph Reader, Charles H. Corliss: ''Line Spectra of the Elements''. In: ''[[CRC Handbook of Chemistry and Physics]]''

== Weblinks ==
* [https://physics.nist.gov/cgi-bin/ASD/lines1.pl?unit=1&line_out=0&bibrefs=1&show_obs_wl=1&show_calc_wl=1&A_out=1&intens_out=1&allowed_out=1&forbid_out=1&conf_out=1&term_out=1&enrg_out=1&J_out=1&g_out=0&spectra=H%20I Umfangreiche Datenbank mit 568 Emissionslinien des Wasserstoffs] des [[National Institute of Standards and Technology]] (A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and NIST ASD Team (2014). NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.2))

[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Spektroskopie]]

Rydberg-Formel - Versionsgeschichte

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