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[[Datei:Honourable Bertrand Russell.jpg|mini|Namensgeber Bertrand Russell]]
Die '''Russellsche Antinomie''' oder auch '''Russellsche Paradoxie''' ist ein von [[Bertrand Russell]] und [[Ernst Zermelo]] entdecktes [[Paradoxon]] der [[Naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]], das Russell 1903 publizierte und das daher seinen Namen trägt.

== Begriff und Problematik ==
Russell bildete seine [[Antinomie]] mit Hilfe der „Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten“,<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s106 Bertrand Russell: ''The principles of Mathematics'', Cambridge 1903, Kap. X, Zusammenfassung §106.]</ref> die als '''Russellsche Klasse''' bezeichnet wird; er definierte sie formal folgendermaßen:<ref>Russells eigene Formel (in Peano-Notation) im Brief an Frege in: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 60. (Briefwechsel zwischen Russell und Frege online in der [https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html Bibliotheca Augustana].)</ref>
: <math>R :=\{\,x\mid x\notin x\,\}</math>
Oft wird die Russellsche Klasse auch als „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ definiert; das entspricht der damaligen Mengenlehre, die noch nicht zwischen [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] und [[Menge (Mathematik)|Mengen]] unterschied. Russell leitete seine Antinomie sinngemäß so ab:<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s101 Bertrand Russell: ''The principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §101.]</ref> Angenommen,<math>\,R</math> enthalte sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft <math>x \notin x</math>, mit der<math>\,R</math> definiert wurde, dass<math>\,R</math> sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen, es gelte das Gegenteil und<math>\,R</math> enthalte sich nicht selbst, dann erfüllt<math>\,R</math> die Klasseneigenschaft, so dass<math>\,R</math> sich doch selbst enthält, entgegen der Annahme.

Die Russellsche Antinomie ist im Gegensatz zu den älteren Antinomien der naiven Mengenlehre ([[Burali-Forti-Paradoxon]] und [[Cantorsche Antinomie]]n) ein Grundproblem der Klassenbildung und unabhängig von speziellen Mengenaxiomen. Zur Ableitung des Widerspruchs wird nur die Definition von <math>\mathcal{R}</math> und das [[Abstraktionsprinzip (Mengenlehre)|Abstraktionsprinzip]], das Russell in seine Typentheorie übernahm, benötigt:<ref>Gottlob Frege: ''Grundgesetze der Arithmetik'', I, 1893, S. 52 erläutert dieses Abstraktionsprinzip. Es ist aber bei Frege kein Axiom, sondern ein Satz, der aus anderen Axiomen abgeleitet wird.</ref><ref>Bertrand Russell: [http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/selecaoartigos/Russell(1905).pdf ''Mathematical logic as based on the theory of types''] (PDF; 1,9 MB), in: ''American Journal of Mathematics'' 30 (1908), Seite 250.</ref>:
:''Abstraktionsprinzip''
:<math>\forall y: (y \in \{\,x\mid \varphi(x)\,\} \iff \varphi(y))</math>
Angewendet auf <math>\mathcal{R}</math> mit <math>\varphi(x) := x \notin x</math> ergibt sich:
:<math>y \in \mathcal{R} \iff y \notin y</math>
Wird nun <math>y</math> durch <math>\mathcal{R}</math> ersetzt, ergibt sich der Widerspruch:
:<math>\mathcal{R} \in \mathcal{R} \iff \mathcal{R} \notin \mathcal{R}</math> ↯

Trotz dieser Probleme hat sich die Mengenlehre als Grundlage für die Mathematik durchgesetzt.

{{Zitat
|Text=Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
|Autor=David Hilbert
|Quelle=Über das Unendliche
|ref=<ref>[[David Hilbert]]: ''Über das Unendliche''. In: ''Mathematische Annalen'', 1926, 95, S. 170.</ref>}}

== Geschichte ==
Russell entdeckte sein Paradoxon Mitte 1901 bei der Beschäftigung mit der [[Cantorsche Antinomie|ersten Cantorschen Antinomie]] von 1897.<ref>Zeitangabe laut Russells Brief an Frege vom 22. Juni 1902. In: Frege: Wissenschaftlicher Briefwechsel, ed. G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel, A. Veraart, Hamburg 1976, S. 215f.</ref> Er veröffentlichte die Antinomie in seinem Buch {{lang|en|''The Principles of Mathematics''}} 1903.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s100 Bertrand Russell: ''The Principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §100]</ref> Schon 1902 teilte er sie [[Gottlob Frege]] brieflich mit.<ref>Russells Brief an Frege vom 16. Juni 1902. In: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 59f. (Briefwechsel zwischen Russell und Frege online in der [https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html Bibliotheca Augustana].)</ref> Er bezog sich auf Freges ersten Band der ''Grundgesetze der Arithmetik'' von 1893, in der Frege die [[Arithmetik]] auf ein mengentheoretisches [[Axiomensystem]] aufzubauen versuchte. Die Russellsche Antinomie zeigte, dass dieses Axiomensystem widersprüchlich war. Frege reagierte darauf im Nachwort des zweiten Bands seiner ''Grundgesetze der Arithmetik'' von 1903:

{{Zitat
|Text=Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.
|Autor=Gottlob Frege
|ref=<ref>Gottlob Frege: ''Grundlagen der Arithmetik'', II, 1903, Anhang S. 253–261.</ref>}}

Russell löste das Paradoxon bereits 1903 durch seine [[Typentheorie]]; in ihr hat eine Klasse stets einen höheren Typ als ihre Elemente; Aussagen wie „eine Klasse enthält sich selbst“, mit der er seine Antinomie bildete, lassen sich dann gar nicht mehr formulieren.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s497 Bertrand Russell: ''The Principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §§497-500.]</ref> Er versuchte also, da er an Freges Abstraktionsprinzip festhielt,<ref>Russell/Whitehead: ''Principia mathematica'' I, Cambridge 1910, S. 26</ref> das Problem durch eine eingeschränkte Syntax der zulässigen Klassen-Aussagen zu lösen. Die eingeschränkte Syntax erwies sich aber als kompliziert und unzulänglich zum Aufbau der Mathematik und hat sich nicht dauerhaft durchgesetzt.

Zermelo, der die Antinomie unabhängig von Russell fand und schon vor Russells Publikation kannte<ref>laut einem Brief von Hilbert vom 7. November 1903, in: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 23f/47</ref>, lehnte das Erstellen von Klassen mit dem Abstraktionsprinzip ab und stellte sieben Axiome zur Erzeugung von Mengen auf. Das dritte Axiom der [[Zermelo-Mengenlehre#Zermelos Axiome 1907|Zermelo-Mengenlehre von 1907]], das [[Aussonderungsaxiom]], gestattet nur noch eine eingeschränkte Klassenbildung innerhalb einer gegebenen Menge. Er bewies mit Hilfe des Aussonderungsaxioms, dass es zu jeder Menge <math>\mathcal{M}</math> Teilmengen gibt, die nicht Elemente von <math>\mathcal{M}</math> sind. Daraus folgerte er,

{{Zitat
|Text=... dass nicht alle Dinge <math>x</math> des Bereiches <math>\mathcal{B}</math> Elemente einer und derselben Menge sein können; d.h. der Bereich <math>\mathcal{B}</math> ist selbst keine Menge, - womit die „Russellsche Antinomie“ für unseren Standpunkt beseitigt ist.
|Autor=Ernst Zermelo
|ref=<ref>Ernst Zermelo: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre'', Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261–281; dort S. 265.</ref>}}

== Lösung ==
Zermelos Lösungsweg, die [[naive Mengenlehre]] durch eine [[axiomatische Mengenlehre]] zu präzisieren, hat sich durchgesetzt: Mengen können nur noch mit Hilfe der Axiome gebildet werden. Für die mit dem Abstraktionsprinzip generierten Objekte ist nun die Bezeichnung [[Klasse (Mengenlehre)|''Klassen'']] üblich, Beispiel:

:''Allklasse''
:<math>\mathcal{V} := \{x \mid x = x \}</math>

<math>\mathcal{V}</math> ist der Bereich, aus dem die Variablen interpretiert werden. Mengen sind Klassen, die Elemente von <math>\mathcal{V}</math> sind, Klassen, die nicht in <math>\mathcal{V}</math> liegen, werden '''echte''' Klassen genannt. Im letzten Schritt der Herleitung der Russellschen Antinomie wird die Variable <math>y</math> durch <math>\mathcal{R}</math> ersetzt. Das ist aber nur zulässig, wenn <math>\mathcal{R}</math> ein Objekt aus dem Bereich der Variablen, also aus <math>\mathcal{V}</math> ist. Die korrekte Ersetzung der Variablen <math>y</math> liefert also:
:<math>{\color{red} \mathcal{R} \in \mathcal{V}} \Longrightarrow (\mathcal{R} \in \mathcal{R} \iff \mathcal{R} \notin \mathcal{R})</math>
Und das heißt:
:<math>\mathcal{R} \notin \mathcal{V}</math>

Die Russellsche Klasse <math>\mathcal{R}</math> liegt nicht im Bereich der Variablen<ref>Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, S. 37</ref>. Die Klassenbildung <math>\{x \mid \varphi(x) \}</math> führt aus einem gegebenen Bereich heraus! Die Situation ist vergleichbar, mit der Subtraktion auf den natürlichen Zahlen: <math>x - y</math> liegt außerhalb der natürlichen Zahlen, wenn <math>x < y</math> gilt.

''Anmerkung:'' Rein prädikatenlogisch gilt:
: <math>\neg \exist x: \forall y: (y \in x \Longleftrightarrow y \notin y)</math>
Denn gäbe es ein solches <math>x</math>, könnte es für <math>y</math> eingesetzt werden und es käme zum Widerspruch <math>x \in x \Longleftrightarrow x \notin x</math>. Das heißt aber nicht, dass die Russellsche Klasse nicht existiert, sondern nur, dass es sie nicht im Bereich der Variablen gibt.

== Varianten der Russellschen Antinomie ==
Die [[Grelling-Nelson-Antinomie]] von 1908 ist ein durch die Russellsche Antinomie inspiriertes semantisches Paradoxon.

Es gibt zahlreiche populäre Varianten der Russellschen Antinomie. Am bekanntesten ist das [[Barbier-Paradoxon]], mit dem Russell selbst 1918 seinen Gedankengang veranschaulichte und verallgemeinerte.

[[Currys Paradoxon]] von 1942 enthält als Spezialfall eine Verallgemeinerung der Russellschen Antinomie.

== Siehe auch ==
* [[Abstraktionsprinzip (Mengenlehre)|Abstraktionsprinzip]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Ulf Friedrichsdorf, [[Alexander Prestel]]
|Titel=Mengenlehre für den Mathematiker
|Reihe=[[vieweg studium]] - Grundkurs Mathematik
|BandReihe=58
|Verlag=[[Friedrich Vieweg & Sohn]]
|Ort=Braunschweig, Wiesbaden
|Datum=1985
|ISBN=3-528-07258-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Paul R. Halmos]]
|Titel=Naive Mengenlehre
|Reihe=Moderne Mathematik in elementarer Darstellung
|BandReihe=6
|Auflage=4.
|Verlag=[[Vandenhoeck & Ruprecht]]
|Ort=Göttingen
|Datum=1976
|ISBN=3-525-40527-8}}
* {{Literatur
|Autor=Paul R. Halmos
|Titel=Naive Set Theory
|TitelErg=Reprint of the 1960 original published by [[Van Nostrand]]
|Verlag=[[Dover Publications]]
|Ort=Mineola, NY
|Datum=2017
|ISBN=978-0-486-81487-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Arnold Oberschelp]]
|Titel=Allgemeine Mengenlehre
|Verlag=[[BI Wissenschaftlicher Verlag]]
|Ort=Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich
|Datum=1994
|ISBN=3-411-17271-1}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/||A. D. Irvine}}
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/p/par-russ.htm||Kevin C. Klement}}

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Semantik (Philosophie)]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Bertrand Russell]]
[[Kategorie:Gottlob Frege]]

Russellsche Antinomie - Versionsgeschichte

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