imported>1234qwer1234qwer4: /* Anwendungen */ verlinkt

2023-02-13T00:31:37Z

Anwendungen: verlinkt

Neue Seite

In der [[Funktionentheorie]] beschäftigt sich die '''Runge-Theorie''' mit der Frage, wann auf einem Teilgebiet [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] durch auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie wurde wesentlich von [[Carl Runge]] entwickelt, der 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte.

== Runge-Theorie für Kompakta ==
[[Datei:ApproximationssatzVonRunge.png|250px|mini|Die Menge <math>P</math> (rote Punkte) trifft jede beschränkte Komponente von <math>\Complex\setminus K</math> (mindestens einmal).]]
Für eine Menge <math>P \subset \mathbb{C}</math> sei <math>\mathbb{C}_P[z]</math> die <math>\mathbb{C}</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]] der [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]], die nur in <math>P</math> [[Polstelle]]n aufweisen.

Der ''Runge’sche Approximationssatz für Kompakta'' besagt nun: Sei <math>K \subset \mathbb{C}</math> ein [[Kompaktum]]. Trifft
<math>P \subset \mathbb{C} \setminus K</math> jede beschränkte Komponente von <math>\mathbb{C} \setminus K</math>, dann ist jede auf <math>K</math> holomorphe Funktion [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] durch Funktionen aus <math>\mathbb{C}_P[z]</math> approximierbar.

Als wichtigen Spezialfall erhält man den ''Kleinen Satz von Runge'': Wenn für ein Kompaktum <math>K \subset \mathbb{C}</math> das Komplement [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] ist, dann ist jede auf <math>K</math> holomorphe Funktion gleichmäßig durch Polynome approximierbar. (Denn in diesem Fall kann man <math>P=\emptyset</math> wählen und rationale Funktionen ohne Polstellen sind Polynome.)<ref>Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: ''Funktionentheorie'', Vieweg Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kapitel VIII §1: ''Die Rungeschen Approximationssätze''</ref>

== Runge-Theorie für Bereiche ==

Der '''Satz von Runge über rationale Approximation''' lautet: Sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> ein Bereich und <math>P \subset \mathbb{C} \setminus \Omega</math> eine Menge, deren Abschluss <math>\overline{P}</math> in <math>\mathbb{C}</math> jedes Loch von <math>\Omega</math> trifft. Dann liegt die Algebra <math>\mathbb{C}_P[z]</math> bzgl. der [[Kompakte Konvergenz|Topologie der kompakten Konvergenz]] [[dichte Teilmenge|dicht]] in der Algebra der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{O}(\Omega)</math>. Als Loch wird hierbei eine kompakte Komponente von <math>\mathbb{C} \setminus \Omega</math> bezeichnet.

Zwei Bereiche <math>\Omega \subseteq \Omega' \subseteq \mathbb{C}</math> heißen ''Runge’sches Paar'', wenn jede auf <math>\Omega</math> holomorphe Funktion sich auf Kompakta gleichmäßig durch auf <math>\Omega'</math> holomorphe Funktionen approximieren lässt. Aus obigem Approximationssatz folgt mit Hilfe des [[Satz von Behnke-Stein|Satzes von Behnke-Stein]] schließlich die Charakterisierung:
: <math>\Omega \subseteq \Omega'</math> bilden genau dann ein Runge’sches Paar, wenn <math>\Omega' \setminus \Omega</math> keine kompakten Komponenten hat, also <math>\Omega</math> relativ zu <math>\Omega'</math> keine Löcher aufweist.

== Anwendungen ==
* Der [[Satz von Mittag-Leffler]] lässt sich aus den Runge’schen Sätzen herleiten.
* Es existieren punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht auf allen Kompakta lokal gleichmäßig konvergieren.
* Die [[Einheitskreisscheibe]] lässt sich holomorph und [[Eigentliche Abbildung|eigentlich]] in <math>\mathbb{C}^3</math> einbetten. (Tatsächlich sogar in <math>\mathbb{C}^2</math>, was aber nicht direkt aus den Runge’schen Sätzen folgt.)
* Jedes Gebiet von <math>\mathbb{C}</math> ist ein [[Holomorphiegebiet]], d. h. zu jedem Gebiet gibt es eine darauf definierte holomorphe Funktion, die sich nicht holomorph über dieses Gebiet hinaus ausdehnen lässt.

== Runge-Approximation auf riemannschen Flächen ==
Der Approximationssatz wurde 1948 durch [[Heinrich Behnke|Behnke]] und [[Karl Stein (Mathematiker)|Stein]] auf [[riemannsche Fläche]]n verallgemeinert.<ref>H. Behnke, K. Stein: ''Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen.'' In: ''Math. Ann.'', Vol. 120 (1947–1949), S. 430–461</ref> Man kann auf riemannschen Flächen zwar nicht von Polynomen sprechen, aber die Approximierbarkeit einer Funktion durch Polynome auf kompakten Mengen <math>K\subset \Complex</math> ist äquivalent zur Approximierbarkeit durch [[ganze Funktion]]en, wie man durch Abbrechen der [[Taylor-Reihe]]n leicht sieht, und in dieser Form gelingt folgende Verallgemeinerung:<ref>[[Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer-Verlag 1977, ISBN 3-540-08034-1, 25.5: ''Rungescher Approximationssatz''</ref>

* Sei <math>X</math> eine riemannsche Fläche und <math>Y\subset X</math> eine offene Teilmenge, so dass deren Komplement <math>X\setminus Y</math> keine kompakten Zusammenhangskomponenten hat. Dann kann jede auf <math>Y</math> holomorphe Funktion bzgl. der Topologie der kompakten Konvergenz durch holomorphe Funktionen auf <math>X</math> approximiert werden.

Beachte, dass die Aussage für kompakte riemannsche Flächen trivial wird, denn dann ist notwendig <math>Y = X</math>. Für nicht-kompakte riemannsche Flächen erhält man als nicht-triviale Folgerung, dass <math>H^1(X,\mathcal{O})=0</math>, d. h. heißt die 1-te [[Garbenkohomologie]] mit Werten in der [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] <math>\mathcal{O}</math> der holomorphen Funktionen verschwindet. Daraus erhält man leicht die Lösbarkeit von Mittag-Leffler-Problemen (siehe [[Satz von Mittag-Leffler]]) auf nicht-kompakten riemannschen Flächen.<ref>[[Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer-Verlag 1977, ISBN 3-540-08034-1, 26.1-26.3</ref>

== Verallgemeinerung ==
* Der [[Satz von Mergelyan]] (durch [[Sergei Nikitowitsch Mergeljan|Mergelyan]] 1951) behandelt zusätzlich u. a. das Problem mit stetiger Fortsetzung auf den Rand.<ref>S. N. Mergelyan: ''Uniform approximation to functions of a complex variable''. In: ''Amer. Math. Soc. Translation'', No. 101</ref>

== Literatur ==
* Reinhold Remmert, Georg Schumacher: ''Funktionentheorie 2.'' Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Runge-Theorie - Versionsgeschichte

imported>1234qwer1234qwer4: /* Anwendungen */ verlinkt