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Das '''Runge-Gross-Theorem''' (nach [[Erich Runge]] und [[Eberhard K. U. Gross]]) ist die formale Grundlage der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie]] und zeigt, dass für ein [[Vielteilchensystem]] zu jedem Ausgangszustand (Wellenfunktion zum Zeitpunkt <math>t=t_0</math>) eine eindeutige Abbildung zwischen der [[Elektronendichte]] <math> n(\vec{r},t)</math> zu einem beliebigen Zeitpunkt <math>t</math> und dem äußeren (zeitabhängigen) Potential <math> v_{\text{ex}}(\vec{r},t)</math> (bis auf einen additiven, nur von der Zeit abhängigen Term) existiert.

Die Herleitung erfolgt in zwei Schritten:
# Das externe Potential wird als [[Taylorreihe]] um einen Ausgangszeitpunkt entwickelt, wobei mit Hilfe des [[Ehrenfest-Theorem]]s gezeigt werden kann, dass zwei externe Potentiale, die sich um mehr als eine additive Konstante unterscheiden verschiedene Strömungsdichten erzeugen.
# Mithilfe der [[Kontinuitätsgleichung]] wird gezeigt, dass eine unterschiedliche [[Stromdichte|Strömungsdichten]] auch eine unterschiedliche Elektronendichte bedeutet.

Die positive Aussage über die Existenz dieser Abbildung macht es möglich die Dynamik quantenmechanischer Vielteilchenprobleme alleine mit Hilfe der Elektronendichte zu berechnen.

Der Satz wurde 1984 von Runge und Groß veröffentlicht.<ref>{{cite journal | last1 = Runge | first1 = Erich | last2 = Gross | first2 = E. K. U. | date = 1984-03-19 | title = Density-Functional Theory for Time-Dependent Systems | journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 52 | issue = 12 | pages = 997 | doi =10.1103/PhysRevLett.52.997 }}</ref>

== Beweis ==

=== Ungleichheit der Stromdichten bei unterschiedlichen Potentialen ===

Seien <math>v(r,t)</math> und <math>v'(r,t)</math> zwei Potentiale, die sich um mehr als eine additive zeitabhängige Konstante unterscheiden <math>v(r,t)-v'(r,t)\neq C(t)</math>, was nicht ausschließt, dass die Potentiale identisch zum Anfangszeitpunkt <math>t=t_{0}</math> sind. Unter der Annahme, dass die Potentiale in einer [[Taylor-Reihe]] dargestellt werden können, muss <math>\exists \mathbb{Z}\ni k>0</math> so dass

<math>\frac{\partial^{k}}{\partial t^{k}}[v(r,t)-v'(r,t)]_{t=t_{0}}\neq\text{const.} \qquad (1)</math>

Ausgehend vom [[Ehrenfest-Theorem]] bzw. der [[Heisenberg-Bild|Heisenbergschen Bewegungsgleichung]] für den [[Wahrscheinlichkeitsstromdichte|Stromdichteoperator]] <math>\hat{j}(r)=(2i)^{-1}\sum_{s}[\hat{\psi}_{s}\nabla\hat{\psi}_{s}^{\dagger}-\hat{\psi}_{s}^{\dagger}\nabla\hat{\psi}_{s}]</math> in [[Zweite Quantisierung|Zweiter Quantisierung]] erhalten wir

<math>i\partial\langle\hat{j}(r)\rangle/\partial t=\langle[\hat{j}(r),\hat{H}(t)]\rangle+\underbrace{i\langle\partial\hat{j}(r)/\partial t\rangle}_{0} \qquad (2)</math>

wobei <math>\langle\cdot\rangle</math> dem [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Erwartungswert entspricht, <math>[\hat{j}(r),\hat{H}(t)]</math> ist der [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] zwischen [[Wahrscheinlichkeitsstromdichte|Stromdichteoperator]] und [[Hamilton-Operator]].
Da die beiden Wellenfunktionen <math>\Phi(t)</math> und <math>\Phi'(t)</math> sich vom selben Ausgangszustand <math>\Phi_{0}=\Phi(t_{0})=\Phi'(t_{0})</math> entwickeln, folgt

<math>i\partial/\partial t[\langle\hat{j}(r)\rangle-\langle\hat{j}'(r)\rangle]_{t=t_{0}}=\langle\Phi_{0}|[\hat{j}(r),\hat{H}(t_{0})-\hat{H}'(t_{0})]|\Phi_{0}\rangle=i n(r,t_{0})\nabla[v(r,t_{0})-v'(r,t_{0})]</math>

Sofern die Potentiale bei <math>t=t_{0}</math> verschieden sind, wenn Gl. (1) für <math>k=0</math> hält, ist die rechte Seite dieser Gleichung ungleich null und damit werden die beiden Stromdichten infinitesimal nach <math>t_{0}</math> unterschiedlich. Applizieren von Gl. (2) <math>k</math>-mal liefert

<math>\{i\partial/\partial t\}^{k+1}[\langle\hat{j}(r)\rangle-\langle\hat{j}'(r)\rangle]_{t=t_{0}}=\langle\Phi_{0}|[\hat{j}(r),\hat{H}(t_{0})-\hat{H}'(t_{0})]|\Phi_{0}\rangle=i n(r,t_{0})\nabla\bigg[\{i\partial/\partial t\}^{k+1} [v(r,t)-v'(r,t)]_{t=t_{0}}\bigg]\neq 0 \qquad (3)</math>

Das zeigt, dass die Stromdichten <math>\forall k\in\mathbb{Z}</math> infinitesimal nach <math>t_{0}</math> unterschiedlich werden, was den ''ersten Teil des Beweises komplettiert''.

=== Ungleichheit der Elektronendichten bei unterschiedlichen Potentialen ===

Mittels der [[Kontinuitätsgleichung]]

<math>\partial_{t}[n(r,t)-n'(r,t)]=-\text{div}[\langle\hat{j}(r)\rangle-\langle\hat{j}'(r)\rangle]</math>

Anwenden der <math>(k+1)</math>-sten Ableitung und mit Gl. (3)

<math>\partial_{t}^{k+1}[n(r,t)-n'(r,t)]|_{t=t_{0}}=-\text{div}\ n(r,t_{0})\cdot\nabla\underbrace{\bigg[\partial_{t}^{k}[v(r,t)-v'(r,t)]|_{t=t_{0}}\bigg]}_{u(r)}</math>

Schließlich muss noch gezeigt werden, dass die rechte Seite der obigen Gleichung ungleich null ist, wenn Gl. (1) stimmt. Schließlich mit dem [[Satz von Green]]

<math>0\neq\int drn(r,t_{0})\underbrace{(\nabla u(r))^{2}}_{u\neq\text{const.}\Rightarrow\neq 0}=-\int dru(r)\underbrace{\nabla n(r,t_{0})\nabla u(r)}_{0}+\underbrace{\oint n(r,t_{0})u(r)\nabla u(r)}_{0}=0</math>

entsteht der Widerspruch und das ''Runge-Gross-Theorem ist bewiesen''.<math>\qquad\Box</math>

== Weblinks ==
* Kenny B. Lipkowitz, Thomas R. Cundari, Peter Elliott, [[Filipp Furche]], Kieron Burke: [http://www.chem.uci.edu/~kieron/dftold/pubs/EBF07.pdf Excited states from time dependent density functional theory] (PDF; 1,1 MB). In: Reviews in Computational Chemistry, Volume 26, {{DOI|10.1002/9780470399545.ch3}}
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Quantenchemie]]

Runge-Gross-Theorem - Versionsgeschichte

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