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2025-02-06T17:36:18Z

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Der '''Run-Test''' (auch ''Runs-Test'', '''Wald-Wolfowitz-Test''' nach [[Abraham Wald]] und [[Jacob Wolfowitz]], '''Iterationstest''' oder '''Geary-Test''') ist ein [[Parameterfreie Statistik|nichtparametrischer]] [[Statistischer Test|Test]] auf [[Zufälligkeit]] einer Folge. Ausgegangen wird von einem [[Urnenmodell]] mit zwei Sorten Kugeln ([[dichotom]]e Grundgesamtheit). Es werden n Kugeln entnommen und es soll die Hypothese geprüft werden, dass die Entnahme zufällig erfolgt ist.

== Vorgehensweise ==

Es wurden einer dichotomen [[Grundgesamtheit]] <math>n</math> Kugeln entnommen. Die Ergebnisse liegen in ihrer chronologischen Abfolge vor. Es werden nun alle benachbarten Ergebnisse gleicher Ausprägung zu einem Lauf oder Run zusammengefasst. Wenn die Folge tatsächlich zufällig ist, sollten nicht zu wenige Runs vorliegen, aber auch nicht zu viele.

Es wird die [[Nullhypothese]] aufgestellt: Die Entnahme erfolgte zufällig.

Für die Festlegung der Zahl der Runs, bei der die Hypothese abgelehnt wird, wird die Verteilung der Runs benötigt: Es seien <math>n_1</math> die Zahl der Kugeln erster Sorte und <math>n_2 = n - n_1</math> der zweiten Sorte; es sei <math>r</math> die Zahl der Runs. Nach dem Symmetrieprinzip ist die Wahrscheinlichkeit für jede beliebige Folge der Kugeln bei zufälliger Entnahme gleich groß. Es gibt insgesamt

:<math>\frac{(n_1 + n_2)!}{n_1!\, n_2!}</math>

Möglichkeiten der Entnahme.
=== Testverteilung ===
Die Testverteilung ist die Verteilung der Zahl der Iterationen (Runs) bei Richtigkeit der Nullhypothese.

Bezüglich der Verteilung der Zahl der Runs unterscheidet man die Fälle:

1. Die Anzahl <math>r</math> der Runs ist geradzahlig:

:Es liegen <math>q= \tfrac 12 r</math> Runs der Kugeln der ersten Sorte und auch <math>q= \tfrac 12 r</math> Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau <math> r = 2q</math> Runs eingetreten sind, ist dann

::<math> P(R=2q) = \frac { 2 {{n_1-1} \choose {q-1}} {{n_2-1} \choose {q-1}}} {{{n_1+n_2} \choose n_1}}\;. </math>

2. Die Anzahl <math>r</math> der Runs ist ungeradzahlig:

:Es liegen <math> q +1 = \tfrac 12(r+1)</math> Runs der Kugeln der ersten Sorte und <math> q =\tfrac 12(r-1)</math> Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor oder der umgekehrte Fall. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau <math> r = 2q+1</math> Runs eingetreten sind, berechnet sich dann als Summe aus diesen beiden Möglichkeiten

::<math> P(R=2q+1)= \frac { {n_1-1 \choose q} {n_2-1 \choose q-1 } + {n_1-1 \choose q-1} {n_2-1 \choose q }} {{n_1+n_2 \choose n_1}}\;. </math>

Dabei bezeichnet <math>{n \choose k}</math> den [[Binomialkoeffizient]]en. Zu berücksichtigen ist <math>{n \choose k} =0</math>, falls <math>n < k</math>.
=== Testdurchführung ===
Als [[Prüfgröße]] wird die Zufallsvariable <math>R</math> verwendet. Die Testverteilung, d. h. die Verteilung der Prüfgröße bei Richtigkeit der Nullhypothese, wurde zuvor beschrieben.
Die Nullhypothese wird bei zweiseitigem Testen dann abgelehnt, wenn die beobachtete Anzahl von Iterationen <math>r</math> zu klein oder zu groß ist.
Bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha</math> wird die Nullhypothese dann abgelehnt, wenn
:<math>r \le r_{\alpha/2}</math> oder <math>r \ge r_{1 - \alpha/2}</math>
gilt. Dabei bezeichnet <math>r_p</math> das <math>p</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der Testverteilung. Da diese Verteilung diskret ist, kann das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> durch einen (nicht [[Randomisierter Test|randomisierten]]) Test im Allgemeinen nicht exakt erreicht werden. Es werden daher die beiden kritischen Wert so gewählt, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art höchstens so groß wie das vorgegebene Signifikanzniveau <math>\alpha</math> ist. Dieses Vorgehen wird auch als [[Statistischer Test#Konservativer Test|konservatives Testen]] bezeichnet. Da die Berechnung der kritischen Werte umständlich ist, bedient man sich häufig einer Tabelle.<ref>Eine Tabelle für <math>n_1,n_2 \leq 20</math> findet sich hier: {{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Seiten=564}} Eine weitere Quelle ist: {{Literatur |Autor=Herbert Büning, [[Götz Trenkler]] |Titel=Nichtparametrische Statistische Methoden |Verlag=Walter de Gruyter |Auflage= 2. völlig neu bearbeitete Auflage |Ort=Berlin / New York |Datum=1994 |ISBN=3-11-013860-3 |DOI=10.1515/9783110902990 |Seiten=393}}</ref>

== Einfaches Beispiel ==

Für eine Podiumsdiskussion mit zwei politischen Parteien wurden die Sprecher angeblich zufällig ermittelt. Es wurde ausgelost, dass von der Partei Supi 4 Vertreter und von der Partei Toll 5 Vertreter in der folgenden Reihe sprechen dürfen:

S S T S T T T S T

Ein Vertreter von Toll beschwerte sich, dass S bevorzugt würde. Es wurde ein Run-Test vorgenommen:

Es ist n1 = 4 und n2 = 5. Man erhielt r = 6 Runs.

Deutlich ist, dass im Falle vieler Runs kein Verdacht besteht auf Bevorzugung einer der Parteien. Die Nullhypothese wird also abgelehnt, wenn es zu wenig Runs gibt. Nach der Tabelle des Run-Testes wird H0 abgelehnt, wenn r ≤ 2. Also liegt die Prüfgröße r = 6 nicht im Ablehnungsbereich; man kann nach den Kriterien des Run-Testes nicht darauf schließen, dass die Reihenfolge der Sprecher nicht zufällig ist.

Übrigens wird auch im nächsten Fall:

S S S T S T T T T

mit r = 4 Runs, die Nullhypothese nicht abgelehnt, obwohl fast jeder einen Verdacht haben wird, dass Supi vorgezogen wurde. Man kann aber wegen der relativ geringen Anzahl der Beobachtungen nicht ausschließen, dass das Ergebnis auf Zufall beruht.

== Ergänzungen ==

=== Parameter der Verteilung von R ===

Der [[Erwartungswert]] von R ist

:<math>
\operatorname{E}(R) = \frac{2 n_1 n_2}{n} + 1
</math>

und die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]

:<math>
\operatorname{Var}(R) = \frac{2 n_1 n_2 (2 n_1 n_2 - n)}{n^2(n - 1)}
</math>.

=== Grundgesamtheit mit mehr als zwei Ausprägungen des Merkmals ===

Liegt eine endliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] reeller Zahlen <math>(x_i)</math> eines metrischen Merkmals vor, wird die Folge dichotomisiert: Man bestimmt zunächst den [[Median]] z der Folge. Werte <math>x_i < z</math> werden dann als Kugeln der ersten Sorte, Werte <math>x_i > z</math> als Kugeln der zweiten Sorte interpretiert. Die entstandene dichotome Folge kann dann wieder auf Zufälligkeit getestet werden (siehe Beispiel unten).

Liegt eine nichtnumerische [[Symbolsequenz]] mit mehr als zwei Ausprägungen vor, muss zunächst eine numerische Reihe erzeugt werden, wobei hier das Problem bestehen kann, dass die Symbole nicht geordnet werden können.

=== Normalapproximation ===

Für [[Stichprobe]]numfänge n1,n2 > 20 ist die Zahl der Runs R annähernd [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit Erwartungswert und Varianz wie oben. Man erhält die standardisierte Prüfgröße

:<math>z = \frac{r - (\frac{2 n_1 n_2}{n} + 1 )}{\sqrt{\frac{2 n_1 n_2 (2 n_1 n_2 - n)}{n^2(n_1 + n_2 - 1)}}}</math>

Die Hypothese wird abgelehnt, wenn

:<math>z < -z(1 - \frac {\alpha}{2})</math> oder <math>z > z(1 - \frac {\alpha}{2})</math>

mit <math>z(1 - \frac {\alpha}{2})</math> als [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der Standardnormalverteilung für die Wahrscheinlichkeit <math>1 - \frac {\alpha}{2}</math> .

== Anwendungen ==

Der Runtest kann angewendet werden, um [[Stationärer stochastischer Prozess|Stationarität]] bzw. Nicht-[[Korrelation]] in einer [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] oder anderen [[Folge (Mathematik)|Sequenz]] zu überprüfen, vor allem wenn die Verteilung des Merkmals unbekannt ist. Die Nullhypothese ist hier, dass aufeinanderfolgende Werte unkorreliert sind.

Der Run-Test kann mit dem [[Chi-Quadrat-Test]] kombiniert werden, da beide Prüfgrößen asymptotisch unabhängig voneinander sind.

=== Beispiel für ein metrisches Merkmal ===

Es liegt die Folge

13 3 14 14 1 14 3 8 14 17 9 14 13 2 16 1 3 12 13 14

vor. Sie wird mit dem Median z = 13 dichotomisiert. Für die erste Ausprägung wird + gesetzt, für die zweite Ausprägung -.

0 -10 1 1 -12 1 -10 -5 1 4 -4 1 0 -11 3 -12 -10 -1 0 1

+ - + + - + - - + + - + + - + - - - + +

Man erhält bei n1 = 11 (+) und n2 = 9 (-) r = 13 Runs. R ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert

:<math>\operatorname{E}(R) = \frac{(2\cdot11\cdot9)}{20} + 1 = 10{,}9</math>

und der Varianz

:<math>\operatorname{Var}(R)= \frac{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 11 \cdot 9 - 20)}{20^2 \cdot 19}= 4{,}6</math>.

Die Prüfgröße z errechnet sich dann als

:<math>\frac{13 - 10{,}9}{\sqrt{4{,}6}}= 1{,}82 </math>

Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 wird H0 abgelehnt, wenn |z| > 1,96. Dies ist nicht der Fall.

Entscheidung: Die Hypothese wird nicht abgelehnt. Die Elemente der Stichprobe sind vermutlich zufällig entnommen worden.

Da der Run-Test aber kein parametrischer Test ist, ist das Resultat mit Vorsicht zu genießen. Bei einem Konfidenzniveau von 90 % könnte z. B. die Nullhypothese abgelehnt werden. Der parametrische [[Shapiro-Wilk-Test]] zeigt nämlich, dass bei der vorliegenden Zahlenreihe die Normalverteilung nicht gegeben ist!

== Literatur ==
* James V. Bradley: ''Distribution-Free Statistical Tests.'' 1968, Chapter 12, ISBN 0-13-216259-8
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]], [[Götz Trenkler]] |Titel=Nichtparametrische Statistische Methoden |Verlag=Walter de Gruyter |Auflage= 2. völlig neu bearbeitete Auflage |Ort=Berlin / New York |Datum=1994 |ISBN=3-11-013860-3 |DOI=10.1515/9783110902990 |Fundstelle=Kapitel 4.5, 5.2.1}}
* {{Literatur |Autor=Jean Dickinson Gibbons, Subhabrata Chakraborti |Titel=Nonparametric Statistical Inference |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Auflage=6 |Ort=Boca Raton |Datum=2021 |ISBN=978-1-315-11047-9| DOI=10.1201/9781315110479 |Fundstelle=Kap. 3.2}}
* {{Literatur |Herausgeber= P. H. Müller |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage = 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=178, 179 |Fundstelle = 'Interaktionstest'}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Seiten=561–566}}
* [[Abraham Wald]], [[Jacob Wolfowitz]]: ''On a Test Whether Two Samples are from the Same Population.'' The [[Annals of Mathematical Statistics]], Vol. 11, No. 2 (Jun., 1940), S. 147–162, {{DOI|10.1214/aoms/1177731909}} {{JSTOR|2235872}}

== Siehe auch ==
[[Autokorrelation]], [[Zufallszahlengenerator]], [[Pseudozufallszahlen]], [[Trend (Statistik)|Trend]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Statistik#Runtest Programmierung des Run-Tests in Gambas (Programmiersprache)]
* [http://www.ammu.at/archiv/4/4_4.htm Ein verblüffendes Experiment - der RUN-Test]
* [http://www.reiter1.com/Glossar/Wald_Wolfowitz.htm Wald Wolfowitz Runs Test]

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

Run-Test - Versionsgeschichte

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