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[[Datei:Bead spring noexclusion.svg|mini|Schematische Darstellung des Rouse Modells als Kette von Massenpunkten (blaue Kreise) und verbindenden Federn (grau) mit ''N=13'' Massenpunkten und dem mittleren Abstand ''l'' zwischen zwei Massenpunkten]]
Das '''Rouse-Modell''' ist eines der einfachsten, in der [[Polymerphysik]] verwendeten Modelle für die [[Dynamik (Physik)|Dynamik]] von [[Polymer]]en. Es wird für Polymere verwendet, die keine [[Verschlaufung]]en aufweisen. Die Dynamik verschlaufter Polymere wird meist durch das [[Reptation (Chemie)|Reptationsmodell]] beschrieben.

== Beschreibung ==
Das Rouse-Modell beschreibt das Polymer als [[Freely-Jointed-Chain-Modell|ideale Kette]] von Massenpunkten (oft als {{enS|beads}} bezeichnet), die durch Federn verbunden sind. Die zeitliche Veränderung der [[Konformation]] wird dann durch [[brownsche Bewegung]] der einzelnen Massenpunkte realisiert, indem an jedem eine zufällige (thermische) Kraft angreift. Dabei werden keine Volumenausschlusseffekte beachtet, das Polymer kann sich also mit sich selbst überkreuzen. Das Modell wurde 1953 von [[Prince E. Rouse]] vorgeschlagen.<ref>Prince E. Rouse, ''A Theory of the Linear Viscoelastic Properties of Dilute Solutions of Coiling Polymers'', J. Chem. Phys. 21, 1272 (1953), cited over 1000 times by 2010.</ref>

Das Rouse-Modell führt zu folgender stochastischer [[Differentialgleichung]] ([[Langevin-Gleichung]]) für die Position <math>\vec{R}_n</math> des <math>n</math>-ten Massenpunktes:

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{R}_n}{\mathrm{d}t}=\underbrace{\frac{k}{\zeta}\cdot\left(\vec{R}_{n-1}-\vec{R}_n+\vec{R}_{n+1}-\vec{R}_n\right)}_{\text{Wechselwirkung mit Nachbargliedern}}+\underbrace{\vec{f}_n(t)}_{\text{Zufallskraft}}</math>

Dabei ist <math>k</math> die [[Federkonstante]] der Federn im Modell, <math>\zeta</math> der [[Reibungskoeffizient]] eines Massenpunkts im [[Lösungsmittel]] und <math>N</math> die Anzahl der Kettenglieder. Der Term <math>k(\vec{R}_{n\pm1}-\vec{R}_n)</math> ist jeweils die lineare [[Rückstellkraft]] durch die Feder zum Vorgänger <math>n-1</math> und zum Nachfolger <math>n+1</math> (an den beiden freien Enden des Polymers entfällt jeweils einer der beiden Terme). Der Term <math>\vec{f}_{n}(t)</math> beschreibt eine thermische Zufallskraft (Brownsche Molekulardynamik), die keine Vorzugsrichtung besitzt und räumlich und zeitlich unkorreliert ist. Aus diesem Ansatz ergeben sich folgende Eigenschaften des Polymers:
* [[Diffusionskoeffizient]] des Massenschwerpunkts: <math>D_G=\frac{k_\mathrm BT}{N\zeta}</math> (<math>T</math>: Temperatur, <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]])
* Rotationsrelaxationszeit: <math>\tau_R=\frac{\zeta N^2 l^2}{3\pi^2 k_\mathrm BT}</math>
* [[mittlere quadratische Verschiebung]]<ref>Die mittlere quadratische Auslenkung <math>\left\langle r(\tau)\right\rangle</math> ({{enS|mean squared displacement}} oder kurz MSD) ist eine gute Größe zur Charakterisierung der Dynamik eines sich [[Zufallsbewegung|zufällig bewegenden]] Teilchens. Sie misst den mittleren Abstand, den ein Teilchen in einer Zeitspanne <math>\tau</math> von seinem Ursprung zurücklegt. Für ein frei diffundierendes Teilchen (in 3 Dimensionen) ergibt sich die Beziehung <math>\left\langle r^2(\tau)\right\rangle=6D\cdot\tau</math> mit dem [[Diffusionskoeffizient]]en <math>D</math>. Abweichungen von diesem linearen Verhalten (normale Diffusion) werden als [[anomale Diffusion]] bezeichnet. Dann gilt oft (wie auch im vorliegenden Fall) die allgemeinere Form <math>\left\langle r^2(\tau)\right\rangle=\Gamma\cdot\tau^\alpha</math>.</ref> eines einzelnen Segments:

:<math>\left\langle\vec{R}^2_n(\tau)\right\rangle=\left\langle\left(\vec{R}_n(t+\tau)-\vec{R}_n(t)\right)^2\right\rangle\approx\frac{2Nl^2}{\pi^{3/2}}\sqrt{\frac{\tau}{\tau_R}}</math>

== Erweiterung: Das Zimm-Modell ==
[[Datei:Hydrodynamic interactions.svg|mini|Hydrodynamische Wechselwirkung: Auf ein Segment ''n'' wirkt die Kraft ''F<sub>n</sub>'' (rot). Dies führt zu einem grün dargestellten lokalen Fluss, der sich wiederum auf die benachbarten Segmente auswirkt (Kräfte als kleine schwarze Pfeile).]]
{{Anker|Zimm-Modell}}Eine wichtige Erweiterung wurde 1956 von [[Bruno Zimm]] veröffentlicht:<ref>Bruno H. Zimm, ''Dynamics of Polymer Molecules in Dilute Solution: Viscoelasticity, Flow Birefringence and Dielectric Loss'', J. Chem. Phys. 24, 269 (1956).</ref> Sein Modell (oft einfach als "'''Zimm Modell'''" bezeichnet) berücksichtigt auch hydrodynamische Wechselwirkungen zwischen den Massenpunkten der Kette. Diese sind Wechselwirkungen (Kräfte), die durch die Lösungsmittelmoleküle um das Polymer vermittelt werden: Die Massenpunkte ziehen die Lösungsmittelmoleküle bei ihrer Bewegung mit sich, was auch zu einer Kraft auf benachbarte Kettenglieder führt (siehe Abbildung rechts). Das Zimm-Modell führt zu einer besseren Beschreibung realer Polymere als das Rouse-Modell, die auch mit experimentellen Daten für verdünnte Lösungen gewisser Polymere übereinstimmt.

Die obige Langevin-Gleichung für das Rouse-Modell wird um einen Tensor (Matrix) <math>\mathrm{H}_{nm}</math> erweitert, die die hydrodynamische Kraft zwischen dem <math>n</math>-ten und <math>m</math>-ten Segment darstellt:

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{R}_n}{\mathrm{d}t}=\underbrace{k\cdot\sum\limits_{m}\mathrm{H}_{nm}\left(\vec{R}_{n-1}-\vec{R}_n+\vec{R}_{n+1}-\vec{R}_n\right)}_{\text{Wechselwirkung mit Nachbargliedern+Hydrodynamik}}+\underbrace{\vec{f}_n(t)}_{\text{Zufallskraft}}</math>

Dabei ist zu beachten, dass der [[Tensor]] <math>\mathrm{H}_{nm}</math> von den Positionen <math>\vec{R}_0, ..., \vec{R}_{N-1}</math> aller Segmente abhängt. Dadurch ist die obige Langevin-Gleichung nichtlinear und kann nicht mehr einfach gelöst werden. Bruno Zimm ersetzte <math>\mathrm{H}_{nm}(\vec{R}_0, ..., \vec{R}_{N-1})</math> daher durch seinen Gleichgewichtsmittelwert <math>\langle \mathrm{H}_{nm}\rangle_{eq}</math>, der berechnet werden kann. Daraus leiten sich folgende Eigenschaften eines Zimm-Polymers her:
* [[Diffusionskoeffizient]] des Massenschwerpunkts: <math>D_G=\frac{8k_\mathrm BT}{3\sqrt{6\pi^3}\eta_s\sqrt{N}\cdot l}</math> (<math>\eta_s</math>: [[Viskosität]] des Lösungsmittels)
* Rotationsrelaxationszeit: <math>\tau_R=\frac{\eta_S(\sqrt{N}l)^3}{\sqrt{3\pi} k_\mathrm BT}</math>
* mittlere quadratische Verschiebung eines einzelnen Segments: <math>\left\langle\vec{R}^2_n(\tau)\right\rangle=\frac{2\Gamma(1/3)Nl^2}{\pi^2}\left(\frac{\tau}{\tau_R}\right)^{2/3} </math>

== Experimentelle Beobachtung ==
In diesem Abschnitt soll auf einige reale Polymere hingewiesen werden, die sich gut mit einem der oberen Modelle beschreiben lassen:
* [[Desoxyribonukleinsäure|Einzelsträngige DNA]] ist ein relativ biegsames Polymer und zeigt auf kurzen Zeitskalen in verdünnter Lösung Zimm-artige Dynamik für einzelne Segmente, wie mit [[Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie]] gezeigt werden konnte.<ref name="Shusterman2004">{{Literatur |Autor=Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky |Titel=Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=92 |Nummer=4 |Datum=2004-01 |ISSN=0031-9007 |Seiten= |Online=https://www.phys.ens.fr/~monasson/Houches/Krichevsky/PRLPolymerDynamics.pdf |Format=PDF |KBytes=158 |DOI=10.1103/PhysRevLett.92.048303}}</ref>
* [[Desoxyribonukleinsäure|Doppelsträngige DNA]] ist deutlich steifer als einzelsträngige DNA, daher spielen die hydrodynamischen Wechselwirkungen eine wesentlich geringere Rolle, sodass ihre Monomerdynamik in verdünnter Lösung mit dem Rouse-Modell gut beschrieben werden kann.<ref name="Shusterman2004" />

== Literatur ==
* Michael Rubinstein: ''Polymer Physics'' Oxford University Press, USA, 2003, ISBN 978-0-19-852059-7
* Masao Doi: ''Introduction to polymer physics'' Oxford University Press, USA, 1996, ISBN 0-19-851772-6
* Masao Doi, S. F. Edwards: ''The theory of polymer dynamics'' Oxford University Press, USA, 1988, ISBN 978-0-19-852033-7

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Makromolekülstruktur]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Biophysik]]

Rouse-Modell - Versionsgeschichte

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