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'''Rotationskörper''' wird in der [[Geometrie]] ein [[Körper (Geometrie)|Körper]] genannt, dessen Oberfläche durch [[Rotationsbewegung|Rotation]] einer erzeugenden Kurve um eine [[Rotationsachse]] gebildet wird (siehe [[Rotationsfläche]]). Die Rotationsachse wird auch ''Figurenachse'' genannt.<ref>{{Literatur
| Autor=Kurt Magnus
| Titel=Kreisel
| TitelErg=Theorie und Anwendungen
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=1971
| ISBN=978-3-642-52163-8
| Seiten=44}}
</ref> Die Kurve liegt dabei in einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], und auch die Achse liegt in ebenderselben. Ein bekannter Rotationskörper ist der [[Torus]]. Er wird durch die Rotation eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] gebildet. Auch [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] sind Rotationskörper.

Das [[Volumen]] und die [[Flächeninhalt|Oberfläche]] werden mit den sogenannten '''Guldinschen Regeln'''<ref>{{Literatur |Autor=Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjaew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=20. Auflage |Verlag=Teubner; Nauka |Ort=Leipzig; Moskau |Datum=1981 |Umfang=XII, 860 |Seiten=369 f.}}</ref> (benannt nach dem Mathematiker und Astronomen [[Paul Guldin]]) errechnet. Bereits in der [[Antike]] waren diese als '''Baryzentrische Regeln''' oder '''Zentrobarische Regel''' bekannt und wurden vom griechischen Mathematiker [[Pappos von Alexandria]] beschrieben.

[[Datei:Rotationskoerper animation.gif|thumb|right|Darstellung der Rotation einer Sinuskurve]]

== Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers ==
Falls die erzeugende Kurve die Drehachse schneidet, ist zu überlegen, ob die entsprechenden Teilvolumina als positive oder negative Beiträge zum Gesamtvolumen gezählt werden sollen.

=== Rotation um die ''x''-Achse ===
Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a,b]</math>, die <math>x</math>-Achse und die beiden Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> begrenzt wird, um die <math>x</math>-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

:<math>V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x</math>

=== Rotation um die ''y''-Achse ===
==== 1. Fall: „disc integration“ ====
[[Datei:Disc integration.svg|mini|Disc integration]]
Bei Rotation (um die <math>y</math>-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a,b]</math>, die <math>y</math>-Achse und die beiden Geraden <math>y=f(a)</math> und <math>y=f(b)</math> begrenzt wird, muss man <math>y=f(x)</math> umformen zur [[Umkehrfunktion]] <math>x=f^{-1}(y)</math>. Diese existiert, wenn <math>f</math> [[Stetige Funktion|stetig]] und [[streng monotone Funktion|streng monoton]] ist. Falls nicht (wie z. B. im Bild rechts oben), lässt sich <math>f</math> vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen <math>f</math> jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

:<math>V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y</math>

Wenn man hier <math>y = f(x)</math> substituiert, erhält man mithilfe der Substitutionsregel für Integrale für das Volumen um die <math>y</math>-Achse

:<math>V = \pi \cdot \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x</math>.

Der Absolutwert von <math>f'</math> und die min/max-Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

==== 2. Fall: „shell integration“ (Zylindermethode) ====
[[Datei:Shell integration.svg|mini|Shell integration]]
Bei Rotation (um die <math>y</math>-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a,b]</math>, die <math>x</math>-Achse und die beiden Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> begrenzt wird, gilt die Formel:

:<math>V = 2 \pi \, \int_a^b x \, f(x) \, \mathrm{d}x</math>

== Guldinsche Regeln ==
Die beiden guldinschen Regeln, benannt nach dem Schweizer Mathematiker [[Paul Guldin]], verkürzen Oberflächen- und Volumenberechnungen von Rotationskörpern enorm, falls sich die [[Geometrischer Schwerpunkt|Linien- oder Flächenschwerpunkte]] der rotierenden Objekte unter Ausnutzen der Symmetrien der jeweiligen Aufgabe einfach erkennen lassen (s. u. Torus-Beispiele).

Bezeichnungen:

:<math>M</math> = Oberfläche
:<math>V</math> = Rauminhalt
:<math>L</math> = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)
:<math>A</math> = Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
:<math>R</math> = Radius des Schwerpunktkreises
:<math>r</math> = Radius des rotierenden Kreises (Torus-Beispiele)

=== Erste Regel ===
Der [[Flächeninhalt]] <math>M</math> der [[Mantelfläche]] eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Linienschwerpunktes der Profillinie erzeugt wird:

:<math>M = L \cdot 2 \pi R</math>

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion <math>f</math> der erzeugenden Linie ergibt sich der Flächeninhalt als:

==== Bei Rotation um die ''x''-Achse ====
:<math>M = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math>

Mit <math>\textstyle R = y_s = \frac{1}{L}\int_L y \mathrm{d}L</math> als <math>y</math>-Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie <math>L</math> und ihrem Linienelement <math>\mathrm{d}L</math> findet man

:<math>M = L \cdot 2 \pi R=L \cdot 2 \pi \cdot\frac{1}{L}\int_L f(x) \mathrm{d}L = 2 \pi\int_L f(x) \mathrm{d}L</math>,

was das obige Ergebnis darstellt, wenn noch <math>\textstyle \mathrm{d}L = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2} = \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\mathrm{d}x</math> mit den <math>x</math>-Intervallgrenzen <math>[a,b]</math> eingesetzt wird.

==== Bei Rotation um die ''y''-Achse ====
:<math>M = 2\pi\int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y</math>
Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung für die stetigen und streng monotonen Abschnitte von <math>f(x)</math>, in denen die Umkehrfunktion existiert, separat durchgeführt werden.

'''Beispiel:''' Oberfläche eines [[Rotationstorus]]:

:<math>M = 2 \pi r \cdot 2 \pi R = 4 \pi^2 r R</math>

''Siehe auch:'' [[Mantelfläche]]

=== Zweite Regel ===
Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Flächenschwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird:

:<math>V = A \cdot 2 \pi R</math>

Im Folgenden wird die Rotation einer Fläche um die <math>x</math>-Achse betrachtet, der Fall einer gekippten Rotationsachse lässt sich durch [[Koordinatentransformation]] erreichen. Im Fall der Rotation um die <math>x</math>-Achse einer Fläche zwischen <math>f(x)</math>, der <math>x</math>-Achse und den Grenzen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch <math>f(x)</math> mit <math>R</math> als Flächenschwerpunkt zu

:<math>V = A \cdot 2 \pi \tfrac{1}{A}\int_Ay\mathrm{d}A = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x</math>

mit <math>y = \tfrac{f(x)}{2}</math> und <math>\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x</math>.

'''Beispiel:''' Volumen eines Rotationstorus:

:<math>V = \pi r^2 \cdot 2 \pi R = 2 \pi^2 r^2 R</math>

== Parameterform ==
Wenn eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] durch ihre Parameterform <math>(x(t), y(t))</math> in einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> definiert wird, sind die [[Volumen|Volumina]] der [[Körper (Geometrie)|Körper]], die durch Drehen der Kurve um die x-Achse oder die y-Achse erzeugt werden, gegeben durch<ref>{{cite book|title=Application Of Integral Calculus|first=A. K.|last=Sharma|publisher=Discovery Publishing House|year=2005|isbn=81-7141-967-4|page=168|url=https://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC&pg=PA168 |language=en}}</ref>
:<math>V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t</math>
:<math>V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t</math>

Der [[Oberflächeninhalt]] dieser [[Körper (Geometrie)|Körper]] ist gegeben durch<ref>{{cite book|title=Engineering Mathematics|edition=6th|first=Ravish R.|last=Singh|publisher=Tata McGraw-Hill|year=1993|isbn=0-07-014615-2|page=6.90|url=https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90 |language=en}}</ref>
:<math>M_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \, \mathrm{d}t</math>
:<math>M_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \, \mathrm{d}t</math>

== Keplersche Fassregel ==
Die [[Keplersche Fassregel]] gibt
: <math>V = \frac{h}{6} \cdot \left(q(0) + 4q \left( \frac{h}{2} \right) + q(h)\right)</math>
als [[Näherungswert]] für das [[Volumen]] eines [[Körper (Geometrie)|Körpers]], dessen [[Querschnittsfläche]] an drei Stellen bekannt ist, an. Ist der Körper ein Rotationskörper, so gilt bei Rotation um die <math>x</math>-Achse:

:<math>V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x</math>
:<math>\approx \pi \frac{b-a}{6} \cdot \left((r(a))^2 + 4\left(r \left( \frac{a+b}{2} \right)\right)^2 + (r(b))^2\right)</math>

== Siehe auch ==

* [[Rotationsfläche]]
* [[Kugel]]
* [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
* [[Kegelstumpf]]
* [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]
* [[Rotationsparaboloid]]
* [[Rotationshyperboloid]]
* [[Rotationsellipsoid]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{commonscat|Solids of revolution|Rotationskörper}}
{{Wiktionary}}
* {{DNB-Portal|4136951-8|TYP=Literatur über}}
* Ronny Harbich: {{Webarchiv |url=http://www.uni-magdeburg.de/harbich/rotationskoerper.php |wayback=20110315155912 |text=''Rotationskörper.''}}. Bei: ''Uni-Magdeburg.de.'' 2003 (PDF; 948 kB).

{{Normdaten|TYP=s|GND=4136951-8|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

{{SORTIERUNG:Rotationskorper}}
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Rotationskörper - Versionsgeschichte

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