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2026-04-16T03:59:52Z

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'''Rotationsenergie''' ist die [[kinetische Energie]] eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] (Beispiel: [[Schwungrad]]), der um einen festen Punkt oder seinen (beweglichen) [[Massenmittelpunkt]] [[Rotationsbewegung|rotiert]]. In diesen beiden Fällen lässt sich die kinetische Energie des Körpers in einen [[Translation (Physik)|translatorischen]] und einen rotatorischen Anteil zerlegen. Diese [[Energie]] ist abhängig vom [[Trägheitsmoment]] und der [[Winkelgeschwindigkeit]] des Körpers: je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist, desto mehr Energie gibt der Körper ab, wenn seine Rotation gestoppt wird.

Dies lässt sich durch folgendes Experiment verdeutlichen: Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter, siehe [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)#Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad|eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad]]. Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt. Die andere Kugel jedoch ist hohl, besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff. Die hohle Kugel wird langsamer rollen, da bei ihr die gesamte Masse auf einer dünnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller, weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss. Daher wird weniger ihrer [[Lageenergie]] in Rotationsenergie und mehr in [[translatorische Energie]] umgewandelt und sie rollt schneller.

Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei: [[Turbine]]n, [[Generator]]en, [[Rad|Rädern]] und [[Reifen]], [[Welle (Mechanik)|Wellen]], [[Propeller]]n.

== Trägheitsmoment ==
Ein Körper, der mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math> um die x-Achse rotiert, besitzt die Rotationsenergie

:<math>E_\mathrm{rot} =\frac{1}{2}\cdot J_x\cdot\omega^2</math>

mit
* <math>J_x</math>: [[Trägheitsmoment]] des Körpers um die x-Achse
* <math>\omega</math>: [[Winkelgeschwindigkeit]].

Dies lässt sich allgemein ausdrücken als:

:<math>
E_\mathrm{rot}=\frac{1}{2}\;\vec{\omega}\cdot\mathbf J\cdot\vec{\omega}
=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta = 1}^{3}\, J_{\alpha\beta}\;\omega_\alpha\;\omega_\beta
</math>

mit
{|
|- style="vertical-align: top;"
|*||style="width:3em;"| <math>\mathbf J</math>:
| [[Trägheitstensor]],
|- style="vertical-align: top;"
|*|| <math>J_{\alpha\beta}</math>:
| [[Trägheitsmoment]]e (α=β) und [[Deviationsmoment]]e (α≠β) bezüglich einer beliebigen [[Orthonormalbasis]], sowie
|- style="vertical-align: top;"
|*|| <math>\omega_\alpha</math>:
| die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bezüglich derselben Basis.
|}

In einem körperfesten System sind die Trägheits- und Deviationsmomente sowie der Trägheitstensor konstant, ansonsten meist zeitabhängig.

Um die Energie eines Körpers anzugeben, der um eine ''beliebige'' Achse rotiert ([[Einheitsvektor]] <math>\vec{n}</math> mit <math>\left| {\vec{n}}\right| = 1 </math>), wird die Winkelgeschwindigkeit jeweils durch ihre Vektorkomponenten in x-, y- und z-Richtung ausgedrückt:

:<math>\vec{\omega} =\omega\,\vec{n}
=\omega\cdot\begin{pmatrix} n_x\\ n_y\\ n_z\end{pmatrix}
=\omega\cdot\begin{pmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\end{pmatrix}
</math>

wenn, wie üblich, die Koordinaten nach dem Schema x→1, y→2 und z→3 nummeriert werden. Für die Rotationsenergie gilt damit:

:<math>\begin{align}
E_\mathrm{rot} &=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{3} J_{\alpha\beta}\; n_{\alpha}\; n_{\beta}\;\omega^2\\
&=\frac{1}{2}\cdot J_n\cdot\omega^2
\end{align}</math>

mit dem Trägheitsmoment <math>J_n</math> bezüglich einer beliebigen Achse <math>\vec{n}</math>:

:<math>J_n=\sum_{\alpha,\beta=1}^{3} J_{\alpha\beta}\; n_{\alpha}\; n_{\beta}
=\vec n\cdot\mathbf J\cdot\vec n</math>

=== Beispiele ===
* Eine [[Kugel]] mit Radius <math>r</math> und Masse <math>m</math> hat das Trägheitsmoment <math>J =\tfrac 2 5\, m r^2</math>. Wenn sie mit der Geschwindigkeit <math>v</math> auf der Ebene rollt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit <math>\omega =\tfrac v r</math> und folglich ihre gesamte kinetische Energie:

::<math>\begin{align}
E_\mathrm{kin} & = E_\mathrm{trans} + E_\mathrm{rot}\\
& =\frac 1 2 m v^2 +\frac 1 2\cdot\frac 2 5 m r^2\cdot\omega^2\\
& =\frac 7 {10} m v^2
\end{align}</math>

* Ein Körper, der um die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] durch seine xy-Fläche rotiert, hat die Winkelgeschwindigkeit:

::<math>\vec{\omega} =\omega\,\vec{n}</math> mit <math>\vec{n}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
</math>

:Daraus folgt für das Trägheitsmoment bzgl. dieser Drehachse:

::<math>\begin{align}
J_{n} & =\vec{n}\cdot\mathbf J\cdot\vec{n}\\
& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 1,1,0\right)
\left(\begin{matrix}
J_{11} & J_{12} & J_{13}\\
J_{12} & J_{22} & J_{23}\\
J_{13} & J_{23} & J_{33}\\
\end{matrix}\right)
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(\begin{matrix}
1\\
1\\
0\\
\end{matrix}\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot (J_{11} + J_{12} + J_{12} + J_{22})
\end{align}</math>

:Die Rotationsenergie erhält man damit aus:

::<math>\begin{align}
E_\mathrm{rot} & =\frac{1}{2}\cdot J_n\cdot\omega^2\\
& =\frac{1}{4}\cdot (J_{11} + J_{12} + J_{12} + J_{22})\cdot\omega^2
\end{align}</math>

== Drehimpuls ==
Die Rotationsenergie kann auch durch den [[Drehimpuls]] <math>\vec{L}_s</math> um den Massenmittelpunkt <math>\vec s</math> ausgedrückt werden:

:<math>\begin{align}
E_\mathrm{rot}&=\frac{1}{2}\,\vec{\omega}\cdot\mathbf J_s\cdot\vec{\omega}\\
& =\frac{1}{2}\,\vec{\omega}\cdot\vec{L}_s\\
& =\frac{1}{2}\,\vec{L}_s\cdot\mathbf J^{-1}_s\cdot\vec{L}_s
\end{align}</math>

mit <math>\vec{L}_s=\mathbf J_s\cdot\vec{\omega}</math> und der [[Inverse Matrix| Inversen]] des Trägheitstensors <math>\mathbf J^{-1}_s</math>, die immer existiert.

Es ist zu beachten, dass der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen ''nicht'' parallel zueinander stehen (außer bei Rotation um eine [[Hauptträgheitsachse]]); siehe auch [[Trägheitsellipsoid]].

== Herleitung ==
Sei der [[Starrer Körper|Starre Körper]] durch einzelne [[Massenpunkt]]e mit Massen <math>m_i</math> an den Orten <math>\vec{r}_i</math> relativ zum Ursprung eines körperfesten [[Bezugssystem]]s gegeben, das sich am Ort <math>\vec{b}(t)</math> im [[Inertialsystem]] befindet. Bei der [[Starrer Körper#Allgemeine Bewegungen starrer Körper|allgemeinen Bewegung starrer Körper]] gilt die ''eulersche Geschwindigkeitsgleichung'':

:<math>\vec{v}(\vec{r},t)
=\dot{\vec{b}}(t)+\vec{\omega}(t)\times\vec{r}\,.</math>

Darin ist <math>\vec\omega</math> die [[Winkelgeschwindigkeit]] des starren Körpers (inklusive des körperfesten Bezugssystems), <math>\dot{\vec b}</math> die Geschwindigkeit von <math>\vec b</math>, und beide dürfen von der Zeit <math>t</math> abhängen. Die Geschwindigkeit <math>\vec{v}(\vec{r},t)</math> ist zur Zeit <math>t</math> die Geschwindigkeit des Massenpunkts am Ort <math>\vec r</math>; die Position des Massenpunkts im Raum ist also <math>\vec x=\vec b+\vec r</math>.

Die kinetische Energie des Körpers ist dann gegeben durch<ref name="thph2">{{Literatur |Hrsg=Institut für Physik an der Universität Rostock |Titel=Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik |TitelErg=Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie |Datum= |Online=http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf |Format=PDF |KBytes= |Abruf=2017-06-06}}</ref>

:<math>\begin{align}
E_{\rm kin}=&\frac12\sum_i m_i\vec{v}(\vec{r}_i,t)^2
=\frac12\sum_i m_i(\dot{\vec{b}}+\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2
\\=&
\frac12\sum_i m_i{\dot{\vec b}}^2
+\frac12\sum_i m_i 2\dot{\vec{b}}\cdot(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)
+\frac12\sum_i m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2
\\=&
\underbrace{\frac12 m{\dot{\vec b}}^2}_{E_{\rm trans}}
+\underbrace{\frac12\sum_i m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2}_{E_{\rm rot}}
+m\vec{\omega}\cdot(\vec s\times\dot{\vec{b}})
\end{align}</math>

Darin ist <math>\textstyle m:=\sum_i m_i</math> die Gesamtmasse des Körpers, <math>E_{\rm trans}</math> seine translatorische Energie, <math>E_{\rm rot}</math> seine Rotationsenergie, <math>\textstyle\vec s:=\frac{1}{m}\sum_i m_i\vec{r}_i</math> sein Massenmittelpunkt im körperfesten Bezugssystem und es wurde ausgenutzt, dass im [[Spatprodukt]] dreier Vektoren deren Reihenfolge zyklisch vertauscht werden darf. Der dritte Summand <math>m\vec{\omega}\cdot(\vec s\times\dot{\vec{b}})</math> verschwindet unter vier Bedingungen:
# Wenn im körperfesten Bezugssystem der [[Massenmittelpunkt]] im Ursprung (<math>\vec s=\vec0</math>) oder auf der Drehachse liegt (<math>\vec\omega\parallel\vec s</math>), die Rotation also um den Massenmittelpunkt stattfindet.
# Wenn das körperfeste System ruht (<math>\dot{\vec{b}}=\vec0</math>) oder sich entlang der Drehachse bewegt (<math>\vec\omega\parallel\dot{\vec b}</math>), was sich durch geeignete Wahl des Bezugspunkts immer einrichten lässt,<ref name="thph2" /> siehe [[Schraubung#Schraubung von Starrkörpern|Schraubung]].
# Wenn sich der Bezugspunkt in Richtung des Massenmittelpunkts bewegt (<math>\dot{\vec{b}}\parallel\vec s</math>), was einem [[Balancieren|Balanceakt]] gleichkommt.
# Der triviale Fall <math>m\vec\omega=\vec0</math> wird hier nicht weiter betrachtet.

In den ersten drei Fällen spaltet sich die kinetische Energie in die translatorische und rotatorische auf, aber nur die ersten beiden Fälle sind für die [[Kreiseltheorie]] interessant. Mit der [[Kreuzprodukt#Lagrange-Identität|Lagrange-Identität]] <math>(\vec\omega\times\vec{r}_i)^2
=(\vec\omega\cdot\vec\omega)(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)^2</math> berechnet sich unter Ausnutzung der Eigenschaften des [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkts]] <math>\otimes</math><ref name="dyade">Das dyadische Produkt ist mit drei beliebigen Vektoren <math>\vec a,\vec b,\vec c</math> definiert durch <math>(\vec a\otimes\vec b)\cdot\vec c:=(\vec b\cdot\vec c)\vec a</math></ref> die Rotationsenergie zu:

:<math>\begin{align}
2E_{\rm rot}
=&\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec{r}_i)^2
=\sum_i m_i[(\vec\omega\cdot\vec\omega)(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)^2]
\\=&\vec\omega\cdot\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\vec\omega-(\vec\omega\cdot\vec{r}_i)\vec{r}_i]
=\vec\omega\cdot\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\mathbf{1}-\vec{r}_i\otimes\vec{r}_i]\cdot\vec\omega
\\=&\vec\omega\cdot\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega
\\\Rightarrow E_{\rm rot}
=&\frac12\vec\omega\cdot\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega
=\frac12\vec\omega\cdot\vec L_b
\end{align}</math>

Darin ist <math>\textstyle\mathbf{\Theta}_b
:=\sum_i m_i[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\mathbf{1}-\vec{r}_i\otimes\vec{r}_i]</math> der [[Trägheitstensor]] des starren Körpers bezüglich <math>\vec b</math>, <math>\vec L_b:=\mathbf{\Theta}_b\cdot\vec\omega</math> sein Eigen[[drehimpuls]] bezüglich <math>\vec b</math> und '''1''' der [[Einheitstensor]]. Im körperfesten System ist der Trägheitstensor konstant, im Inertialsystem jedoch meist nicht, wenn sich der Körper dreht.

== Siehe auch ==
* [[Potentielle Energie]]
* [[Rollersatzmasse]]
* [[Schwungradspeicherung]]
* [[Schwungrad-Speicherkraftwerk]]

== Fußnoten ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4178494-7}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Energieform]]

Rotationsenergie - Versionsgeschichte

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