imported>Sigma^2: /* Eigenschaften */

2023-07-07T20:49:55Z

Eigenschaften

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Die '''Rossi-Verteilung'''<ref>{{Literatur| Autor=Fabio Rossi, Mauro Fiorentino, Pasquale Versace |Titel=Two‐component extreme value distribution for flood frequency analysis |Sammelwerk=Water Resources Research |Band=20 |Nummer=7 |Datum=1984 |Seiten=847–856}}</ref> ist die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen [[Gumbel-Verteilung|Gumbel-verteilt]]en Zufallsvariablen. Da die Gumbelverteilung eine Extremwertverteilung vom Typ I ist, die als Grenzverteilung des Maximums stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt, kann die Rossi-Verteilung als eine Extremwertverteilung in einem weiteren Sinn aufgefasst werden.
Sie wird auch als '''Zwei-Komponenten-Extremwertverteilung''' (engl. ''two component extreme value distribution'', TCEV) bezeichnet.<ref name="Singh">{{Literatur |Autor=Vijay P. Singh |Titel=Two-Component Extreme Value Distribution |Sammelwerk=Entropy-Based Parameter Estimation in Hydrology |Band=30 |Verlag=Springer Netherlands |Ort=Dordrecht |Datum=1998 |ISBN=978-90-481-5089-2 |DOI=10.1007/978-94-017-1431-0_22 |Seiten=347–362}}</ref>

Sie wird vor allem in der Hochwasseranalyse verwendet, wenn zwei Einflussfaktoren mit jeweils eigenen Extremwertverteilungen vorliegen<ref name="Singh" />.

== Definition ==
Eine stetige reellwertige Zufallsvariable <math>X</math> genügt einer Rossi-Verteilung mit den Parametern <math>c_1 \in \R, c_2 \in \R, d_1 > 0, d_2 >0</math>,
wenn sie die [[Verteilungsfunktion]]
:<math>F(x)= \exp\left(-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}}\right) \exp\left(-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\quad\text{für } x \in \R </math>
besitzt.

== Eigenschaften ==
Die oben angegebene Verteilungsfunktion <math>F</math> einer Rossi-Verteilung ist das Produkt von zwei Verteilungsfunktionen
: <math>F_j(x) = \exp\left(-e^{-\frac{x-c_j}{d_j}}\right), \quad j=1,2, </math>
die jeweils zu einer [[Gumbel-Verteilung]] mit dem Lageparameter <math>c_j</math> und dem Skalenparameter <math>d_j</math> gehören. Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>X_2</math> mit den Verteilungsfunktion
<math>F_1</math> und <math>F_2</math> hat die Zufallsvariable <math> X = \max\{X_1,X_2\}</math> die Verteilungsfunktion <math>F = F_1F_2</math>, da
:<math> F(x) = P(X \leq x) = P(\max\{X_1,X_2\} \leq x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x) = P(X_1 \leq x)P(X_2 \leq x) = F_1(x)F_2(x) </math>.
Die Rossi-Verteilung ist also die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen.

Eine Rossi-verteilte Zufallsvariable hat die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x)=\left(\frac{1}{d_1}e^{\frac{x-c_1}{d_1}}+\frac{1}{d_2}e^{\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\exp\left(-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}}\right)\exp\left(-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}}\right)\quad\text{für } x \in \R\;.</math>

Es wird auch die alternative Parametrisierung
:<math> F(x) = \exp\left(- \lambda_1e^{-\frac{x}{d_1}} - \lambda_2e^{-\frac{x}{d_2}}\right) </math>
mit den Parametern <math>\lambda_1 >0 , \lambda_2 >0, d_1 > 0 , d_2 >0 </math> verwendet, die sich mit <math>\lambda_j = \exp(c_j/d_j)</math> für <math> j=1,2</math> ergibt.<ref name="Singh"/>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Rossi-Verteilung - Versionsgeschichte

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