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2025-08-30T10:13:40Z

Grundgedanke

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Die '''Romberg-Integration''' ist ein Verfahren zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Bestimmung von [[Integralrechnung|Integralen]] und wurde von [[Werner Romberg]] 1955<ref>Romberg, Vereinfachte Numerische Integration, Kgl.Norske Vid. Selsk. Forsk., Band 28, 1955, S. 30–36</ref> entwickelt. Sie ist eine Verbesserung der (Sehnen)-[[Trapezregel]] durch [[Extrapolation]].

== Grundgedanke ==
Die Romberg-Integration basiert auf der [[Richardson-Extrapolation]] zum Limes über die Schrittweite einer summierten Quadraturformel, wie beispielsweise der [[Trapezregel]]. Die Trapezregel ist hier besonders zu erwähnen, da sie einfach zu berechnen ist und zudem eine Entwicklung in quadratischen Potenzen der Schrittweite besitzt, also eine Extrapolation in Quadraten der Schrittweite möglich ist, die deutlich schneller konvergiert als die einfache Extrapolation zum Limes. Mit Schrittweite h ist hier die Breite der Trapeze bei der Trapezregel gemeint.

Der aufwändige Teil der numerischen Integration ist oft die Auswertung der Funktionen. Um deren Anzahl minimal zu halten, ist es somit ratsam, einen [[Schrittweitensteuerung|Schrittweitenverlauf]] zu wählen, der die Weiterverwendung von bereits berechneten Funktionswerten erlaubt. Ein Beispiel für eine solche Schrittweite wäre <math>\textstyle{h_n=\frac{b-a}{2^{n-1}}}</math>, das zugleich die Bedingungen für eine konvergente Extrapolation erfüllt. Also

<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots</math>

Bei dieser sogenannten ''Romberg-Folge'' wächst die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen bei großen n schnell an, was nicht immer erwünscht ist.

Um diesem abzuhelfen, kann auch die [[Roland Bulirsch|Bulirsch]]-Folge verwendet werden:

<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\dots</math>

Hier werden Glieder mit <math>\frac{2}{3}</math> zwischengeschaltet.

== Rechenvorschrift ==
Man nähert das Integral <math>I[f] = \int_a^b f(x) \, \mathrm dx</math> mit der Hilfe von [[Trapezregel#Zusammengesetzte Sehnentrapezformel|Trapezsummen]] <math>T=T(h)</math> mit verschiedenen Schrittweiten <math>h</math> an.
Dabei nimmt man an, dass der Grenzwert <math>I[f] = \lim_{h \, \to \, 0 } T(h)</math> erfüllt wird.

Die Rechenvorschrift der Romberg-Integration lautet nun wie folgt<ref>{{Literatur |Autor=Peter Deuflhard; Folkmar Bornemann |Titel=Numerische Mathematik / 1. Eine algorithmisch orientierte Einführung. |Band=1 |Auflage=4., überarb. und erw. Aufl. |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum= |ISBN=3-11-020354-5 |Seiten=318}}</ref>.
# Bestimme die [[Trapezregel#Zusammengesetzte Sehnentrapezformel|Trapezsummen]] <math>T=T(h)</math> zu Schrittweiten <math>\left( h_i \right)_{i=1, \, \ldots \, ,m}</math>. Dies definiert <math> T_{i,1}:=T(h_i) \, , i=1, \, \ldots \, ,m \, .</math>
# Mittels des [[Polynominterpolation#Algorithmus von Neville-Aitken|Neville-Aitken-Schemas]] wird das Interpolationspolynom bei <math>h=0</math> ausgewertet <math>
T_{i,k} := T_{i,k-1} +
\frac{ T_{i,k-1}-T_{i-1,k-1} }
{ \left(
\frac{ h_{i-k+1} }{ h_i }
\right)^2 -1 }
\, \quad
\text{mit}
\quad
2 \leq k \leq i
\, .
</math>

'''Anmerkungen'''
* Im ersten Schritt berechnet man also die Datenpunkte <math>\left( h_i, T(h_i) \right)_{i=1, \, \ldots \, ,m}</math>. Aufgrund der [[Trapezregel#Asymptotische Fehlerentwicklung|asymptotischen Fehlerentwicklung]] der Trapezsumme (es kommen nur Potenzen von <math>h^2</math> vor) wird im zweiten Schritt ein Interpolationspolynom zu den Datenpunkten <math>\left( h_i^2, T(h_i) \right)_{i=1, \, \ldots \, ,m}</math> benutzt.
* Im zweiten Schritt wird nicht das vollständige Interpolationspolynom bestimmt, sondern nur die Auswertung an einem bestimmten Punkt: <math>h=0</math>. Dies funktioniert besonders effizient mit dem [[Polynominterpolation#Algorithmus von Neville-Aitken|Neville-Aitken-Schema]].
* Das [[Polynominterpolation#Algorithmus von Neville-Aitken|Neville-Aitken-Schema]] liefert eine ''Approximation des Integrals'' mittels <math>T_{m,m} \approx I[f]</math>.
* Die Durchführung des [[Polynominterpolation#Algorithmus von Neville-Aitken|Neville-Aitken-Schema]] muss in der „richtigen“ Reihenfolge geschehen. Das folgende ''Extrapolationstableau'' soll dies verdeutlichen (man geht spaltenweise vor: zuerst die erste Spalte bestimmen, dann die zweite etc.)
:<math>
\begin{matrix}
T_{1,1} \\
&\searrow \\
T_{2,1} & \rightarrow & T_{2,2} \\
\vdots & & & \ddots \\
T_{k-1,1} & \rightarrow & \cdots & \rightarrow & T_{k-1,k-1} \\
&\searrow & & \searrow & & \searrow \\
T_{k,1} & \rightarrow & \cdots & \rightarrow & T_{k,k-1} & \rightarrow & T_{k,k} \, .
\end{matrix}
</math>

== Anmerkungen ==

Eine Unterschreitung der hier definierten [[Fehlerschranke]] bedeutet nicht immer, dass das Integral korrekt berechnet wurde. Dies gilt besonders für periodische Funktionen und Funktionen mit einem periodischen Anteil. So führt z. B. das bei der [[Fourieranalyse]] periodischer Funktionen vorkommende Integral

:<math> \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cdot \cos(2^n x) \mathrm{d}x </math>

u. U. zu einem Fehler, wenn man nicht mindestens n+1 Integrationsstufen berechnet. In den ersten n Integrationsstufen fallen alle Stützstellen mit den Nullstellen der Funktion zusammen. Als Integral erhält man daher immer den Wert Null, egal ob es stimmt oder nicht. Ein Computerprogramm sollte also immer eine Mindestanzahl an Integrationsstufen erzwingen.

== Fazit ==
Der große Vorteil der Romberg-Quadratur gegenüber anderen Verfahren besteht in der Möglichkeit, den Fehler im Nachhinein zu kontrollieren und schon erreichte Ergebnisse weiterzuverwenden, wenn die Genauigkeit noch nicht erreicht ist.

== Literatur ==
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme.'' 4. überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020, ISBN 978-3-11-065765-4.
* Josef Stoer: ''Numerische Mathematik 1'', 8. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66154-9, S. 161 ff.
== Weblinks ==
* {{Webarchiv | url=http://freenet-homepage.de/p-st/projects/romberg_v1.0.tar.gz | wayback=20070929103333 | text=Romberg-Integration}} – Plugin für [[Yacas]]
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Romberg-Integration - Versionsgeschichte

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