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'''Rollkurve''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Begriff, der bestimmte Arten geometrischer [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] umfasst. In der älteren Literatur findet man auch die Bezeichnung '''Roulette'''.<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinrich Wieleitner]] |Titel=Spezielle ebene Kurven |Hrsg=G. J. Göschen |Datum=1908 |Sprache=de |ISBN= |Seiten=169 |Online=https://archive.org/details/spezielleebeneku00wielrich}}</ref>
Der Begriff wird nicht einheitlich verwendet.

== Rollkurve im engeren Sinn ==

Zu einer gegebenen Kurve (''Leitkurve'') wird ein [[Kreis]] (''Gangkreis'') betrachtet, der auf der Leitkurve abrollt, ohne zu gleiten. Die Spur eines Punktes (''erzeugender Punkt''), der mit dem Gangkreis mitrotiert, ergibt dann eine Rollkurve. In vielen Fällen liegt der erzeugende Punkt auf dem Rand des Gangkreises, er kann sich aber auch im Inneren oder im Äußeren des Gangkreises befinden. Der Kreismittelpunkt wird oft als erzeugender Punkt ausgeschlossen, da dieser Fall meist zu uninteressanten Ergebnissen führt.

Für die verschiedenen Rollkurven gibt es unterschiedliche Bezeichnungen:

{| class="wikitable"
! Leitkurve
! Bezeichnungen
! Grafik
|-
| Gerade || Trochoide, Spezialfall [[Zykloide]] || [[Datei:Cycloid f.gif|mini|hochkant=0.5|Ein Punkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide]]
|-
| Kreis (Abrollen außen) || Epitrochoide, Spezialfall [[Epizykloide]] || [[Datei:EpitrochoidOn3-generation.gif|mini|hochkant=0.5|Epizykloide (rot)]]
|-
| Größerer Kreis (Abrollen innen) || Hypotrochoide, Spezialfall [[Hypozykloide]] || [[Datei:Deltoid2.gif|mini|hochkant=0.5|Hypozykloide (rot)]]
|-
| Kleinerer Kreis (Abrollen mit Innenseite) || Peritrochoide, Spezialfall Perizykloide || [[Datei:HypotrochoidBigger.gif|mini|hochkant=0.5|Perizykloide (rot)]]
|}

Liegt der die Kurve erzeugende Punkt innerhalb des rollenden Kreises, so nennt man die Rollkurve „verkürzt“ oder „gestreckt“, liegt er außerhalb, „verlängert“ oder „verschlungen“.

== Rollkurve im weiteren Sinn ==

[[Datei:RouletteAnim.gif|rechts|frame|Eine [[Parabel]] (grün) rollt auf einer kongruenten Parabel (blau), wobei diese fixiert bleibt. Der erzeugende Punkt ist der Scheitel der abrollenden Parabel und beschreibt die Rollkurve (rot gezeichnet). In diesem Fall ist die Rollkurve die [[Zissoide des Diokles]]. Grob gesagt, ist eine Rollkurve die Spur eines Punkts (''Generator'' oder ''Pol''), der an einer gegebenen Kurve befestigt ist, die wiederum auf einer weiteren, fixierten Kurve abrollt, ohne zu gleiten.]]

Gelegentlich werden auch Rollkurven betrachtet, bei denen eine beliebige Kurve (z. B. ein Kegelschnitt oder auch eine Gerade) auf einer Leitkurve abrollt.

{| class="wikitable sortable"
|-
! Leitkurve
! Rollende Kurve
! Erzeugender Punkt
! Rollkurve
|-
| ''Beliebige Kurve''
| [[Gerade]]
| Punkt der Gerade
| [[Evolvente|Involute]] der Kurve
|-
|[[Gerade]]
|''Beliebige Kurve''
|''Beliebig''
|[[Zyklogon]]
|-
| [[Gerade]]
| [[Kreis]]
| ''Beliebig''
| [[Trochoide]]
|-
| [[Gerade]]
| [[Kreis]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Zykloide]]
|-
| [[Gerade]]
| [[Ellipse]] oder [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]
| Mittelpunkt
| Sturmsche Roulette<ref name="sturm">[https://www.mathcurve.com/courbes2d/sturm/sturm.shtml "Sturm's roulette" auf www.mathcurve.com]</ref>
|-
| [[Gerade]]
| [[Kegelschnitt]]
| [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]]
| Delaunaysche Roulette<ref>[https://www.mathcurve.com/courbes2d/delaunay/delaunay.shtml "Delaunay's roulette" auf www.mathcurve.com]</ref>
|-
| [[Gerade]]
| [[Parabel (Mathematik)|Parabel]]
| [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]]
| [[Kettenlinie]]<ref name="2dcurves_roulettede">[https://www.2dcurves.com/roulette/roulettede.html "Delaunay's roulette" auf www.2dcurves.com]</ref>
|-
| [[Gerade]]
| [[Ellipse]]
| [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]]
| Elliptische Kettenlinie<ref name="2dcurves_roulettede"/>
|-
| [[Gerade]]
| [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]
| [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]]
| Hyperbolische Kettenlinie<ref name="2dcurves_roulettede"/>
|-
| [[Gerade]]
| [[Hyperbel (Mathematik)#Gleichseitige Hyperbel|Gleichseitige Hyperbel]]
| Mittelpunkt
| ''Rectangular elastica''<ref>{{Literatur |Seiten=88 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/applicationselli00greerich/page/n103| Titel=The applications of elliptic functions |Autor=Alfred George Greenhill |Verlag=Macmillan |Datum=1892}}</ref>
|-
| [[Gerade]]
| [[Epizykloide|Epitrochoide]] oder [[Hypozykloide|Hypotrochoide]]
| Mittelpunkt
| [[Ellipse]]<ref>[https://www.mathcurve.com/courbes2d/roulette/roulette.shtml "Roulette with straight fixed curve" auf www.mathcurve.com]</ref>
|-
| [[Kreis]]
| [[Kreis]]
| ''Beliebig''
| [[Epizykloide|Epitrochoide]] oder [[Hypozykloide|Hypotrochoide]]<ref>[https://www.mathcurve.com/courbes2d/trochoid/trochoidacentre.shtml "Centered trochoid" auf mathcurve.com]</ref>
|-
| Äußeres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]]
| ''Beliebig''
| [[Epizykloide|Epitrochoide]]
|-
| Äußeres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Epizykloide]]
|-
| Äußeres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]] mit gleichem [[Radius]]
| ''Beliebig''
| [[Pascalsche Schnecke]] (Limaçon)
|-
| Äußeres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]] mit gleichem [[Radius]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Kardioide]]
|-
| Äußeres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]] mit dem halben [[Radius]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Nephroide]]
|-
| Inneres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]]
| ''Beliebig''
| [[Hypozykloide|Hypotrochoide]]
|-
| Inneres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Hypozykloide]]
|-
| Inneres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]] mit gedritteltem [[Radius]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Deltoide]]
|-
| Inneres eines [[Kreis]]es
| [[Kreis]] mit gevierteltem [[Radius]]
| Punkt auf dem Kreis
| [[Astroide]]
|-
| [[Parabel (Mathematik)|Parabel]]
| Kongruente Parabel
| [[Scheitelpunkt]]
| [[Zissoide des Diokles]]<ref name="2dcurves_cubicc">[https://www.2dcurves.com/cubic/cubicc.html "Cissoid" auf www.2dcurves.com]</ref>

|}

== Einzelnachweise ==

<references />

== Weblinks ==

*Heinrich Wieleitner: ''Spezielle ebene Kurven''. G. J. Göschen, Leipzig 1908 ([https://archive.org/details/spezielleebeneku00wielrich Digitalisat] im [[Internet Archive]])

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Rollkurve - Versionsgeschichte

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