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2025-06-30T05:42:57Z

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Die '''Rollersatzmasse''' <math>m_\text{RE}</math> ist eine Rechengröße, die der realen physikalischen trägen [[Masse (Physik)|Masse]] eines [[Symmetrie (Geometrie)#Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie|rotationssymmetrischen]] [[starrer Körper|starren Körpers]] hinzuzufügen ist, um seine [[Rotationsenergie]] rechnerisch durch zusätzliche [[Translation (Physik)|translatorische]] [[kinetische Energie]] zu ersetzen.

Die kinetische Energie eines Körpers, der eine Translation und eine [[Rotation_(Physik)|Rotation]] ausführt (z. B. Entlangrollen eines [[Rad]]es auf einer Oberfläche), entspricht der kinetischen Energie eines Körpers mit größerer Masse <math>m_2 > m_1</math>, der nur die Translation ausführt:

:<math>\begin{alignat}{4}
& & E_\text{kin1} & && = E_\text{kin2}\\
& \Leftrightarrow & E_\text{trans1} & + E_\text{rot} && = E_\text{trans2}\\
& \Leftrightarrow\quad & \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 & + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 && = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2
\end{alignat}</math>

Mit bekanntem [[Trägheitsmoment]] <math>J</math> und indem man die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega = \frac{v}{r}</math> ersetzt (da die äußere [[Geschwindigkeit#Bahngeschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]] beim Rollen genau der Translationsgeschwindigkeit <math>v</math> entspricht), erhält man die Rollersatzmasse:

:<math>E_\text{rot} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot m_\text{RE} \cdot v^2</math>
:<math>\Rightarrow m_\text{RE} = \frac{J}{r^2}</math>

Daraus folgt für die kinetische Energie:

:<math>\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot m_\text{RE} \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2</math>

bzw. für die rechnerische Gesamtmasse:

:<math>\Rightarrow m_1 + m_\text{RE} = m_2</math>

== Beispiel ==
Am Beispiel einer [[Kugel]] <math>\left( J = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right)</math> sieht das wie folgt aus:

:<math>\begin{align}
E_\text{rot} & = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2\\
& = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right) \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2\\
& = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2
\end{align}</math>

also ist

:<math>\Rightarrow m_\text{RE} = \frac{2}{5} \cdot m</math>

Die kinetische Energie der Kugel ist somit:

:<math>\begin{align}
\Rightarrow E_\text{kin} & = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\
& = \frac{1}{2} \cdot \left( m + \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\
& = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\
& = \frac{7}{10} \cdot m \cdot v^2
\end{align}</math>

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Rollersatzmasse - Versionsgeschichte

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