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2024-12-04T13:22:05Z

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Die '''Rodrigues-Formel''', benannt nach [[Olinde Rodrigues]], ist eine Formel für die [[Exponentialfunktion]] einer antisymmetrischen 3×3-Matrix, welche in Matrixform ein Kreuzprodukt beschreibt. Sie lautet:
:<math>
\exp([a]_{\times}) =
I + \sin(\|a\|) \begin{bmatrix}\dfrac{a}{\|a\|}\end{bmatrix}_{\times} +
(1 - \cos(\|a\|)) \begin{bmatrix}\dfrac{a}{\|a\|}\end{bmatrix}_{\times}^2
</math>
Dabei bezeichnet <math>I</math> die 3×3-[[Einheitsmatrix]].

Ihre Hauptanwendung liegt darin, dass das Ergebnis eine Drehung um die Achse <math> a </math> mit Winkel <math>\|a\|</math> als Matrix beschreibt.

== Herleitung ==

Die Exponentialfunktion lässt sich in eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]], die für alle Werte aus <math>\mathbb{R}</math> [[Absolute Konvergenz|absolut konvergiert]], entwickeln:

: <math>\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>

Die Gleichung kann auch für beliebige quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] angewendet werden. Eine, die sich wegen ihrer besonderen Eigenschaften dafür eignet, ist die Matrix des [[Kreuzprodukt]]es. Sie lautet für den dreidimensionalen, reellen Raum <math>\mathbb{R}^3</math>:

:<math>
\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
\qquad
[a]_{\times}=
\begin{pmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Formel:
:<math>
[a]_{\times}^3 = [a]_{\times} \cdot [a]_{\times} \cdot [a]_{\times} = - \|a\|^2 \cdot [a]_{\times}
</math>,

wobei <math>\|a\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}</math> die Norm des Vektors <math>a</math> ist.
Das bedeutet, dass man Potenzen der Matrix <math>[a]_{\times}</math> stets auf Potenzen mit Exponenten kleiner 3 reduzieren kann. Daher sind diese Matrizen für das Einsetzen in Potenzreihen geeignet.

Für [[Sinus]] und [[Kosinus|Cosinus]] gibt es ebenfalls Taylorentwicklungen. Sie lauten:
:<math>\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math>
:<math>\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math>

Diese Gleichungen können kombiniert werden: Terme mit geradem Exponenten können durch die Cosinus-Entwicklung und Terme mit ungeradem Exponenten durch die Sinus-Entwicklung ersetzt werden. Nach einigen Vereinfachungen erhält man die Rodrigues-Gleichung.

== Eigenschaften ==

Sei <math>R(a) = \exp([a]_{\times})</math>. Dann gilt:
:<math>R(-a) \,=\, R(a)^{-1} \,=\, R(a)^T</math>
:<math>R(a) \cdot a = a</math>

== Anwendung ==
Vor allem in der [[Robotik]] und in der [[Computergrafik]] spielt die Rodrigues-Formel eine Rolle. Es existiert immer ein Koordinatensystem, definiert durch <math>\left(e_1, e_2, \dfrac{a}{\|a\|}\right)</math>, in dem für einen Vektor <math>\vec{a}</math> gilt:

:<math>\vec{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \alpha\end{pmatrix}</math>

Das bedeutet, dass die Matrix <math>\exp([a]_{\times})</math> eine Rotation um die Achse <math>\dfrac{a}{\|a\|}</math> repräsentiert. Der Drehwinkel ist dabei <math>\|a\|</math>, also die Länge des Vektors.

== Literatur ==
* M. E. H. Ismail: ''Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable.'' Cambridge University Press, Cambridge UK 2005, ISBN 0-521-78201-5.
* O. Faugeras: ''Three-Dimensional Computer Vision - A Geometric Viewpoint.'' MIT Press, Cambridge MA 1993, ISBN 0-262-06158-9.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

[[fr:Rotation vectorielle#Cas général]]

Rodrigues-Formel - Versionsgeschichte

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