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2026-03-28T17:57:20Z

Beziehung zum Ring im Sinne der Algebra: link

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Ein '''Mengenring''', auch einfach kurz '''Ring''' genannt, ist in der [[Maßtheorie]] ein spezielles [[Mengensystem]] und somit eine Menge von Mengen. Ringe und ihre Erweiterungen zu komplexeren Mengensystemen wie [[σ-Algebra|σ-Algebren]] spielen eine wichtige Rolle im axiomatischen Aufbau der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]].

[[Felix Hausdorff]] nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] eines Ringes in der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] einen [[Mengenverband]] „Ring“.<ref>{{Literatur |Autor=Felix Hausdorff |Titel=[[Grundzüge der Mengenlehre]] |Verlag=Veit & Comp. |Ort=Leipzig |Datum=1914 |Seiten=14}} Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.</ref> Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise ein wie hier definiertes Mengensystem.<ref>Hausdorff nannte ein solches einen „Körper“ ({{Literatur |Titel=Grundzüge der Mengenlehre |Seiten=15)}}</ref>

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines [[Ring (Algebra)|Rings]] im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

== Definition ==
Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein [[Mengensystem]] <math>\mathcal R</math> über <math>\Omega</math>, also eine Menge von Teilmengen von <math>\Omega</math>, heißt ein ''Mengenring'' oder ''Ring über <math>\Omega</math>'', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
# <math>\mathcal R \neq \emptyset\quad</math> (<math>\mathcal R</math> ist nicht leer).
# <math>A, B \in \mathcal R \implies A \cup B \in \mathcal R\quad</math> (Stabilität/[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] bezüglich [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|Vereinigung]]).
# <math>A, B \in \mathcal R \implies A \setminus B \in \mathcal R\quad</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|Differenz]]).

Jeder Mengenring <math>\mathcal R</math> enthält mit der [[leere Menge|leeren Menge]] <math>\emptyset</math> ein ''[[Verband (Mathematik)#Neutrale Elemente|Nullelement]]'' bzw. eine ''Null'', denn <math>\mathcal R</math> enthält mindestens ein Element <math>A</math> und damit ist <math>\emptyset = A \setminus A \in \mathcal R</math>.

Äquivalente Definitionen befinden sich im entsprechenden unten stehenden Abschnitt.

== Beispiele ==
=== Potenzmengen ===
Über einer beliebigen Menge <math>\Omega</math> ist jede [[Potenzmenge]]
: <math>\mathcal R = \mathcal P(T)</math>
von einer Menge <math>T \subseteq \Omega</math> ein Mengenring. Denn <math>\mathcal P(T)</math> ist nicht leer und stabil bezüglich allen Mengenoperationen, da <math>\mathcal P(T)</math> per Definition alle Teilmengen von <math>T</math> enthält, die ebenso Teilmengen von <math>\Omega</math> sind.

Insbesondere ist die Potenzmenge <math>\mathcal P(\Omega)</math> der größte Mengenring über <math>\Omega</math>, enthält sie doch alle Teilmengen von <math>\Omega</math>.

Die Potenzmenge der leeren Menge <math>\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}</math> ist wiederum der kleinste Mengenring über <math>\Omega</math>, weil immer zumindest <math>\emptyset \in \mathcal R</math> ist.

=== System aller endlichen Teilmengen ===
Ist <math>\Omega</math> eine beliebige Menge und bezeichnet <math>|A|</math> die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Menge <math>A\; (|\emptyset| = 0)</math>, so ist das System
: <math>\mathcal R = \{A \subseteq \Omega \mid |A| \in \N_0\}</math>
aller endlichen Teilmengen von <math>\Omega</math> ein Mengenring, weil Vereinigungen und Differenzen von jeweils zwei endlichen Mengen wieder endlich sind.

=== Mengenring der ''d''-dimensionalen Figuren ===
Ein in der Anwendung wichtiger Mengenring über <math>\R^d,\, d \in \N,</math> ist der ''Ring der <math>d</math>-dimensionalen Figuren''<ref>
{{Literatur |Autor=Peter Eichelsbacher |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Ruhr-Universität Bochum |Seiten=5f. |Kommentar=Vorlesungsskript Wintersemester 2016/17 |Online=[https://www.ruhr-uni-bochum.de/imperia/md/content/stochastik/skripte/wtheorie_ws04.pdf] |Format=PDF |Abruf=2018-10-30}}</ref>
: <math>\mathcal R = \{[a_1, b_1) \cup\cdots\cup [a_n, b_n) \subset \R^d \mid a_i, b_i \in \R^d \text{ mit } a_i \leq b_i \text{ für } i = 1, \ldots, n\}</math>.
Er besteht aus allen Mengen, die sich als endliche Vereinigungen von rechtsoffenen [[Intervall (Mathematik)#n-dimensionale Intervalle|<math>d</math>-dimensionalen Intervallen]] darstellen lassen, und ist der von dem [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]]
: <math>\mathcal H = \{[a, b) \subset \R^d \mid a, b \in \R^d \text{ mit } a \leq b\}</math>
[[Ring (Mengensystem)#Erzeugung von Ringen|erzeugte Ring]] (s. u.).

== Eigenschaften ==
=== Stabilität bezüglich Mengenoperationen ===
Für zwei beliebige Mengen <math>A, B</math> gilt stets <math>A \cap B = A \setminus (A \setminus B)</math> und <math>A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)</math>. Daher ist auch jeder Mengenring <math>\mathcal R</math> stabil/abgeschlossen bezüglich [[Mengenlehre#Schnittmenge|Durchschnitt]] und [[symmetrische Differenz|symmetrischer Differenz]]:
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \cap B \in \mathcal R</math>.
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \bigtriangleup B \in \mathcal R</math>.

Aus der Stabilität bezüglich Vereinigung, Durchschnitt und symmetrischer Differenz folgt jeweils [[Vollständige Induktion|induktiv]], dass auch alle endlichen Vereinigungen sowie alle nicht leeren, endlichen Durchschnitte und symmetrischen Differenzen von Elementen des Mengenringes <math>\mathcal R</math> in ihm enthalten sind, d. h. für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt:
* <math>A_1, \ldots, A_n \in \mathcal R \implies A_1 \cup\cdots\cup A_n \in \mathcal R\quad</math> und <math>\quad\bigcup \emptyset = \emptyset \in \mathcal R</math>.
* <math>A_1, \ldots, A_n \in \mathcal R \implies A_1 \cap\cdots\cap A_n \in \mathcal R</math>.
* <math>A_1, \ldots, A_n \in \mathcal R \implies A_1 \bigtriangleup\cdots\bigtriangleup A_n \in \mathcal R</math>.

=== Mengenring mit Eins ===
Da jeder Mengenring <math>\mathcal R</math> vereinigungs- und durchschnittsstabil ist, ist er auch ein [[Mengenverband]]. Wenn <math>\mathcal R</math> als solcher auch <math>\Iota := \bigcup \mathcal R</math> als ''[[Verband (Mathematik)#Neutrale Elemente|Einselement]]'' bzw. ''Eins'' enthält, dann ist <math>\mathcal R</math> ein ''Mengenring mit Eins'' oder kurz ein ''Ring mit Eins''.

Jede Potenzmenge
: <math>\mathcal R = \mathcal P(T)</math>
einer Menge <math>T \subseteq \Omega</math> ist ein Mengenring über <math>\Omega</math> mit Einselement <math>\Iota = T</math>.

Dagegen ist das Mengensystem
: <math>\mathcal R = \{\emptyset\} \cup \{\{n_1, \ldots, n_m\} \mid n_1, \ldots, n_m \in \N,\; m \in \N\}</math>
aller endlichen Teilmengen von <math>\Omega = \N</math> ein Beispiel für einen Mengenring ''ohne'' Eins, denn <math>\bigcup \mathcal R = \N \notin \mathcal R</math>.

=== Beziehung zum Ring im Sinne der Algebra ===
Das [[Tupel|Tripel]] <math>(\mathcal R, \bigtriangleup, \cap)</math> mit dem Mengenring <math>\mathcal R</math> ist ein [[Ringtheorie|Ring im Sinne der Algebra]] und die leere Menge <math>\emptyset</math> ist dessen [[Nullelement]]. Falls <math>\mathcal R</math> ein Mengenring mit Eins ist, ist <math>\Iota = \bigcup \mathcal R</math> zudem das [[Einselement]] von <math>(\mathcal R, \bigtriangleup, \cap)</math>.

Ist umgekehrt <math>\mathcal R</math> ein Mengensystem, so dass <math>(\mathcal R, \bigtriangleup, \cap)</math> ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist <math>\mathcal R</math> wegen <math>A \cup B = (A \bigtriangleup B) \bigtriangleup (A \cap B) \in \mathcal R</math> und <math>A \setminus B = A \bigtriangleup (A \cap B) \in \mathcal R</math> für alle <math>A, B \in \mathcal R</math> auch immer ein Mengenring.

Damit sich jeder Mengenring <math>\mathcal R</math> als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf <math>\mathcal R</math> nicht leer sein, denn die leere Menge <math>\emptyset</math> kann kein Nullelement enthalten und daher keine [[Trägermenge]] eines Ringes im Sinne der Algebra sein.

== Äquivalente Definitionen ==
Wenn <math>\mathcal R</math> ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math> ist und wenn <math>A, B</math> Mengen sind, dann sind wegen <math>A \cap B = A \setminus (A \setminus B)</math> und <math>A \setminus B = A \setminus (A \cap B)</math> folgende zwei Aussagen [[Logische Äquivalenz|äquivalent]]:
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \setminus B \in \mathcal R</math>.
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \cap B \in \mathcal R</math> und falls <math>B \subseteq A</math> auch <math>A \setminus B \in \mathcal R</math>.

Ist außerdem <math>\mathcal R \neq \emptyset</math>, so sind wegen <math>A \setminus B = (A \cup B) \bigtriangleup B</math> und <math>A \cup B = (A \setminus B) \cup B</math> sowie <math>A \cup B = C \setminus ((C \setminus A) \cap (C \setminus B))</math> für jede Menge <math>C</math> mit <math>A \cup B \subseteq C</math> ebenso äquivalent:
* <math>\mathcal R</math> ist ein Mengenring.
* <math>\mathcal R</math> ist ein differenzstabiler [[Mengenverband]].
* <math>\mathcal R</math> ist ein vereinigungsstabiler [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]].
* <math>\mathcal R</math> ist stabil bezüglich symmetrischer Differenz <math>\bigtriangleup</math> und Durchschnitt <math>\cap</math>.
* <math>(\mathcal R, \bigtriangleup)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]] und <math>(\mathcal R,\cap)</math> ist eine [[Halbgruppe]].
* <math>(\mathcal R, \bigtriangleup, \cap)</math> ist ein Ring im Sinne der Algebra mit Addition <math>\bigtriangleup</math> und Multiplikation <math>\cap</math>.
* <math>(\mathcal R, \bigtriangleup, \cap)</math> ist ein [[idempotent]]er ([[kommutativ]]er) Ring im Sinne der Algebra.
* <math>\mathcal R</math> ist stabil bezüglich symmetrischer Differenz <math>\bigtriangleup</math> und Vereinigung <math>\cup</math>.
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \setminus B \in \mathcal R</math> und falls <math>A \cap B = \emptyset</math> existiert ein <math>C \in \mathcal R</math> mit <math>A \cup B \subseteq C</math>.
* <math>A, B \in \mathcal R \implies A \setminus B \in \mathcal R</math> und es existiert ein <math>C \in \mathcal R</math> mit <math>A \cup B \subseteq C</math>.

== Operationen mit Ringen ==
=== Schnitt von Ringen ===
Der Schnitt <math>\mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math> von zwei Mengenringen <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> ist stets wieder ein Ring. Denn sind <math>A, B \in \mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math>, so sind auch <math>A, B \in \mathcal R_1</math> und <math>A, B \in \mathcal R_2</math>, also <math>A \cup B \in \mathcal R_1</math> sowie <math>A \cup B \in \mathcal R_2</math>. Somit ist <math>A \cup B</math> auch in <math>\mathcal R_1 \cap \mathcal R_2</math>, der Schnitt ist folglich stabil bezüglich Vereinigung. Die Stabilität bezüglich der Differenz folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von Mengenringen, da sich die obige Argumentation dann auf alle diese Ringe ausweiten lässt. Somit gilt:

Ist <math>I</math> eine beliebige [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] und sind alle <math>\mathcal R_i</math> für <math>i \in I</math> Mengenringe über derselben [[Grundmenge]] <math>\Omega</math>, so ist der Schnitt aller dieser Ringe wieder ein Mengenring über <math>\Omega</math>:
: <math>\mathcal R_I := \bigcap_{i\in I} \mathcal R_i</math>.

=== Vereinigung von Ringen ===
Die Vereinigung <math>\mathcal R_1 \cup \mathcal R_2</math> zweier Mengenringe <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> ist jedoch im Allgemeinen kein Mengenring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden Ringe
: <math>\mathcal R_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}</math>
sowie
: <math>\mathcal R_2 = \{\emptyset, \{2\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\}</math>,
so ist
: <math>\mathcal R_1 \cup \mathcal R_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}</math>.

Dieses Mengensystem ist aber weder vereinigungsstabil, da es <math>\{1\} \cup \{2\} = \{1,2\}</math> nicht enthält, noch ist es differenzstabil, da es <math>\{1,3\} \setminus \{1\} = \{3\}</math> nicht enthält, und somit auch kein Mengenring.

=== Produkt von Ringen ===
Es seien <math>\mathcal S_1</math> ein Mengensystem über <math>\Omega_1</math> und <math>\mathcal S_2</math> ein Mengensystem über <math>\Omega_2</math>. Das [[Direktes Produkt|direkte Produkt]] von <math>\mathcal S_1</math> und <math>\mathcal S_2</math> ist definiert als das Mengensystem
: <math>\mathcal S_1 \boxdot \mathcal S_2 := \{A\!\times\!B \mid A \in \mathcal S_1,\; B \in \mathcal S_2\}</math>
über <math>\Omega_1 \times \Omega_2</math>.

Das direkte Produkt von zwei Mengenringen ist jedoch im Allgemeinen kein Mengenring mehr, sondern lediglich ein [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]].

Betrachtet man als Gegenbeispiel den Potenzmengenring
: <math>\mathcal R = \mathcal P(\{1,2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}</math>,
so enthält das Mengensystem <math>\mathcal R \boxdot \mathcal R</math> die Mengen
: <math>A = \{1\} \times \{1\} = \{(1,1)\}</math>
und
: <math>B = \{1,2\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}</math>.

Die Menge
:<math> B \setminus A = \{(1,2), (2,1), (2,2)\}</math>
ist jedoch nicht in <math>\mathcal R \boxdot \mathcal R</math> enthalten, da sie sich nicht als [[kartesisches Produkt]] zweier Mengen aus <math>\mathcal R</math> darstellen lässt. Somit ist das direkte Produkt <math>\mathcal R \boxdot \mathcal R</math> nicht differenzstabil und damit auch kein Mengenring.

Das Ringprodukt von zwei Mengenringen <math>\mathcal R_1</math> über <math>\Omega_1</math> und <math>\mathcal R_2</math> über <math>\Omega_2</math> definiert man daher als deren [[Tensorprodukt]]
: <math>\mathcal R_1 \boxtimes \mathcal R_2 := \{A_1\!\times\!B_1 \cup\cdots\cup A_n\!\times\!B_n \mid A_1, \ldots, A_n \in \mathcal R_1,\; B_1, \ldots, B_n \in \mathcal R_2,\; n \in \N\}</math>,
sodass dieses wieder ein Mengenring über <math>\Omega_1 \times \Omega_2</math> ist, nämlich der von <math>\mathcal R_1 \boxdot \mathcal R_2</math> erzeugte Ring (s. u.).

=== Spur eines Rings ===
Die [[Spur eines Mengensystems|Spur eines Rings]] <math>\mathcal R</math> über <math>\Omega</math> in einer Menge <math>T \subseteq \Omega</math>, also das Mengensystem
: <math>\mathcal R|_T := \{ A \cap T \mid A \in \mathcal R\}</math>,
ist immer ein Mengenring über <math>\Omega</math> und über <math>T</math>.

== Erzeugung von Ringen ==
Da beliebige [[Ring (Mengensystem)#Schnitt von Ringen|Schnitte von Mengenringen]] wieder Ringe sind (s. o.), lässt sich für jedes Mengensystem <math>\mathcal S</math> über <math>\Omega</math> durch
: <math>\varrho(\mathcal S) := \bigcap\;\{\mathcal R \mid \mathcal R \text{ ist ein Ring über } \Omega \text{ mit } \mathcal S \subseteq \mathcal R\}</math>
eine [[Hüllenoperator|Hülle]] definieren. Diese ist per Definition der kleinste Mengenring über <math>\Omega</math>, der das Mengensystem <math>\mathcal S</math> enthält, und wird der von <math>\mathcal S</math> '''erzeugte Ring''' genannt.

Teilweise kann der erzeugte Ring direkt angegeben werden. So ist der von einem [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]] <math>\mathcal H</math> erzeugte Ring von der Form
: <math>\varrho(\mathcal H) = \{A_1 \cup\cdots\cup A_n \mid A_1, \ldots, A_n \in \mathcal H \text{ sind paarweise disjunkt},\; n \in \N\}</math>.
Ein explizites Beispiel dieser Form ist das obige Beispiel des [[Ring (Mengensystem)#Mengenring der d-dimensionalen Figuren|Mengenrings der <math>d</math>-dimensionalen Figuren]].

Ebenso gilt für das oben besprochene [[Ring (Mengensystem)#Produkt von Ringen|Produkt zweier Mengenringe]] <math>\mathcal R_1</math> und <math>\mathcal R_2</math>:
: <math>\mathcal R_1 \boxtimes \mathcal R_2 = \varrho(\mathcal R_1 \boxdot \mathcal R_2)</math>.

== Verwandte Mengensysteme ==
[[Datei:LaTeX1 Kopie.png|mini|400px|Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme]]
=== Verallgemeinerungen ===
; Mengenhalbring
Jeder Mengenring ist ein (vereinigungsstabiler) [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]], aber nicht jeder Mengenhalbring ist auch ein Mengenring:

Denn der Mengenhalbring
: <math>\mathcal H = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2,3\}\}</math>
ist kein Mengenring, weil <math>\mathcal H</math> weder vereinigungs- noch differenzstabil ist.

; Mengenverband
Ein Mengenring ist stets ein (differenzstabiler) [[Mengenverband]], jedoch ist nicht jeder Mengenverband ein Mengenring:

Der Mengenverband
: <math>\mathcal V = \{\{1\}\}</math>
ist kein Mengenring, da <math>\mathcal V</math> nicht differenzstabil ist.

=== Spezielle Mengenringe ===
; Mengenalgebra
Ein Mengenring <math>\mathcal A</math> über einer Menge <math>\Omega</math> mit <math>\Omega \in \mathcal A</math>, wird eine [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebra]] über <math>\Omega</math> genannt. Somit ist jede Mengenalgebra <math>\mathcal A</math> ein Mengenring mit der Eins <math>\Omega = \bigcup \mathcal A</math>, aber nicht jeder Mengenring ist eine Mengenalgebra.

So ist auch der Mengenring
: <math>\mathcal R = \mathcal P(\{1\}) = \{\emptyset, \{1\}\}</math>
''keine'' Mengenalgebra über der Grundmenge <math>\Omega = \{1, 2\}</math>, da <math>\Omega \notin \mathcal R</math>. Nimmt man dagegen seine Eins <math>\Iota</math> als Grundmenge, so ist <math>\Iota = \{1\} \in \mathcal R</math> und damit ist <math>\mathcal R</math> eine Mengenalgebra über <math>\Iota</math>.

Für den Begriff der Mengenalgebra ist daher die vorausgesetzte Grundmenge wesentlich.

; δ-Ring
Ein Mengenring, der abgeschlossen bezüglich abzählbar vielen Schnitten ist, wird ein [[δ-Ring (Mengensystem)|δ-Ring]] genannt.

; σ-Ring
Ein Mengenring, der abgeschlossen bezüglich abzählbar vielen Vereinigungen ist, wird ein [[σ-Ring]] genannt.

; Monotone Klassen
Jeder Ring <math>\mathcal R</math>, der eine [[monotone Klasse]] ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind alle <math>A_1, \ldots, A_n \in \mathcal R</math> für <math>n \in \N</math>, so ist aufgrund der Eigenschaften des Ringes auch
: <math>B_n := \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal R</math>.

Die Mengen <math>B_n</math> bilden aber eine [[monoton wachsende Mengenfolge]], daher ist aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse ihr [[Konvergente Mengenfolge|Grenzwert]]
: <math>\lim_{n\to\infty} B_n = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal R</math>.

<math>\mathcal R</math> ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring <math>\mathcal R</math> [[erzeugte monotone Klasse]] immer ein σ-Ring.

== Siehe auch ==
* [[Topologischer Raum]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=2., überarb. |Verlag=[[De Gruyter]] |Ort=Berlin/New York |Datum=1992 |ISBN=3-11-013626-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]] |Titel=Einführung in die Maßtheorie |Auflage=2. überarb. |Verlag=[[Bibliographisches Institut]] |Ort=Mannheim/Zürich |Datum=1985 |ISBN=3-411-03102-6}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]

Ring (Mengensystem) - Versionsgeschichte

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