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2026-04-14T20:21:44Z

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Ein '''Riesz-Raum''' ist ein [[Vektorraum]] mit einer [[Verband (Mathematik)|Verbandsstruktur]], die so beschaffen ist, dass die lineare und die Verbandsstruktur im Sinne der unten gegebenen Definition verträglich sind. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von [[Frigyes Riesz]] definiert<ref>Riesz, Frigyes: ''Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires'', Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148</ref> und trägt deshalb heute seinen Namen.

== Definition ==
Sei <math>X</math> ein <math>\R</math>-[[Vektorraum]] mit einer [[Ordnungsrelation#Halbordnung|Halbordnung]] <math>\leq</math>.

Dann heißt <math>(X,\leq)</math> ein '''Riesz-Raum''' wenn folgende [[Axiom]]e erfüllt sind:

1. (Translationsinvarianz) Für alle <math>f,g,h\in X</math> gilt:
::<math>f\leq g \Rightarrow f+h\leq g+h </math>.
2. (Monotonie der Skalarmultiplikation) Für alle <math>f,g\in X</math> und alle <math>a\geq 0</math> gilt:
::<math>f\leq g \Rightarrow a f\leq a g</math>.
3. <math>(X,\leq)</math> ist ein [[Verband (Mathematik)|Verband]], das heißt für alle <math>f,g\in X</math> existieren
:: <math>\sup(f,g)\quad</math> und <math>\quad\inf(f,g)</math>.

Das Supremum notiert man als <math>x\vee y:=\sup(x,y)</math>und das Infimum als <math>x\wedge y:=\inf(x,y)</math>.

=== Weitere Begriffe ===
* Für eine Menge <math>A\subset X</math> ist
::<math>\sup(A)=\bigvee_{x\in A} x=\sup\{x\colon x\in A\}</math> und <math>\inf(A)=\bigwedge_{x\in A} x=\inf\{x\colon x\in A\}</math>.
* Für ein Element <math>x\in X</math> definiert man den ''positiven'' und ''negative Teil'' <math>x^+:=x\vee 0</math> und <math>x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0</math>.
* Der ''Modulus'' von <math>x</math> ist definiert als <math>|x|:=x\vee (-x)</math>.
* Zwei Elemente <math>x,y\in X</math> sind ''disjunkt'' <math>x \perp y</math> wenn für ihre Moduli <math>|x|\wedge |y|=0</math> gilt.
* Sei <math>M\subset X</math> eine beliebige Menge und <math>M\neq \emptyset</math>, dann definieren wir <math>M^{\perp}=\{x\in X\colon (\forall y \in M)\; x\perp y\}</math>, das heißt die Menge der zu <math>M</math> disjunkten Elemente.
* Eine Teilmenge <math>M\subset X</math> ist vollständig wenn <math>M\perp x</math> impliziert das <math>x=0</math>, das heißt es gilt <math>M^{\perp}=0</math>.
* Eine Teilmenge <math>M\subset X</math> ist ''solide'' oder ''normal'', falls für jedes <math>x\in E</math> und ein beliebiges <math>y\in M</math> mit <math>|x|\leq |y|</math> auch <math>x\in M</math> gilt.
* Die Menge <math>M^{\perp \perp}</math> nennt man das von ''<math>M</math> generierte Band''. Für eine einelementige Menge <math>\{x\}</math> nennt man <math>\{x\}^{\perp \perp}</math> das ''Prinzipalband''.<ref>{{Literatur|Autor=Martin R. Weber |Datum=2014 |Titel=Finite Elements in Vector Lattices |Hrsg=De Gruyter, Deutschland |Seiten=8}}</ref>

== Anmerkungen ==
* 1. und 2. bedeuten <math>(X,+,\cdot,\leq)</math> ist ein geordneter Vektorraum.
* Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass <math>\leq</math> sich sowohl auf <math>\R</math>, als auch auf <math>X</math> bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche [[Ordnungsrelation]] gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
* 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung <math>0\leq a</math> und <math>\mathbf{0}\leq f \Rightarrow \mathbf{0} \leq a\cdot f</math> ersetzen.
* Bezeichnen <math>\land, \lor</math> die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass <math>\land, \lor</math> stärker binden, als <math>+, \cdot</math> (Klammerregel).

== Erste Eigenschaften ==
Für <math>f,g,h\in X</math> und <math>0\leq a\in \R</math> gelten folgende Rechenregeln:
* <math>(f+h)\lor(g+h)=(f\lor g) +h</math> und <math>(f+h)\land(g+h)=(f\land g) +h</math>
* <math>(af)\lor (ag)=a(f\lor g)</math> und <math>(af)\land (ag)=a(f\land g)</math>
* <math>(-f)\lor (-g)=-(f\land g)</math> und <math>(-f)\land (-g)=-(f\lor g)</math>
* Sei <math>|f|:=f\lor(-f)</math> für <math>f\in X</math>.
: Dann gilt <math>f\lor g=\tfrac{1}{2} (f+g+|f-g|)</math> und <math>f\land g=\tfrac{1}{2} (f+g-|f-g|)</math>.
* <math>(f\lor g)+(f\land g)=f+g</math> und <math>(f\lor g)-(f\land g)=|f-g|</math>
* <math>(f\lor g)\land h = (f\land h) \lor (g \land h)</math> und <math>(f\land g)\lor h = (f\lor h) \land (g \lor h)</math>
:Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein [[Distributivgesetz|distributiver]] [[Verband (Mathematik)|Verband]].

== Beispiele ==
* Die reellen Zahlen <math>\R</math> mit der üblichen Anordnung <math>\leq</math> bilden einen Riesz-Raum.
* Der <math>\R^n</math> mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
* Die Menge der reellen Zahlenfolgen <math>\R^\N</math> mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
* Die Menge der reellen Nullfolgen <math>c_0</math> mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
* Für <math>1\leq p \le \infty</math> ist <math>l_p</math> mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
* Die Menge der beschränkten reellen Folgen <math>l_\infty</math> mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
* Die Menge der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}[a,b]</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math> bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
* Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen <math>\mathcal{C}^1[a,b]</math> auf einem Intervall <math>[a,b] </math> bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

== Integrationstheorie ==
Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der [[Spektralsatz von Freudenthal]]. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die [[Approximationseigenschaft]] von Funktionen durch [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]]. Der [[Satz von Radon-Nikodým]] und die [[Poissonsche Summenformel]] für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser [[Spektralsatz]] war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

== Verbandsnorm und Banachverbände ==
Eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|</math> auf einem Riesz-Raum <math>(X,\leq)</math> heißt Verbandsnorm, wenn gilt, dass wenn <math>|x| \leq |y| </math>, auch folgt, dass <math>\|x\| \le \|y\|</math>. Ein Riesz-Raum mit einer Verbandsnorm nennt man normierter Riesz-Raum. Ist er vollständig bezüglich der Verbandsnorm, dann nennt man ihn einen ''Banachverband''.<ref>{{Literatur|Autor=C. D. Aliprantis and O. Burkinshaw|Titel=Positive Operators|Verlag=Academic Press|Ort=New York|Jahr=1985|Seiten=181}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
* {{EoM
| Titel = Riesz space
| Autor = V. I. Sobolev
| Url = http://eom.springer.de/R/r082290.htm
}}

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Riesz-Raum - Versionsgeschichte

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