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2025-01-09T12:59:03Z

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[[Datei:Complex Riemann Xi.jpg|mini|300px|Die Riemannsche <math>\xi</math>-Funktion in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]]]

In der [[Mathematik]] ist die '''Riemannsche Xi-Funktion''' eine Transformierte der [[Riemannsche ζ-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]]. Ihre [[Nullstelle]]n entsprechen dabei ausschließlich den nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion, und im Gegensatz zu dieser ist die Xi-Funktion [[Holomorphie|holomorph]] auf der ganzen [[Komplexe Zahl|komplexen Ebene]]. Zudem genügt sie einer besonders einfachen [[Funktionalgleichung]]. [[Bernhard Riemann]] führte sie 1859 in derselben Arbeit über die Primzahlverteilung ein, in der er auch die später nach ihm benannte [[Riemannsche Vermutung]] formulierte.

== Definition ==
Die Riemannsche Xi-Funktion <math>\xi</math> ([[xi|„klein xi“]]) ist definiert als

:<math>\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s),</math>

wo <math>\zeta</math> die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] und <math>\Gamma</math> die [[Gamma-Funktion]] bezeichnet. Der Produktterm auf der rechten Seite vor der Riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion eliminiert genau alle negativen Nullstellen und die [[Polstelle|Singularität]] der Zeta-Funktion an der Stelle <math>s = 1</math>. Die einzigen Nullstellen von <math>\xi</math> sind daher genau die nichttrivialen Nullstellen der <math>\zeta</math>-Funktion.

Eine Variante der Xi-Funktion wird üblicherweise mit <math>\Xi</math> („groß Xi“) bezeichnet und geht aus <math>\xi</math> durch die [[Koordinatentransformation|Variablentransformation]] <math>\textstyle s \mapsto t = \frac{i}{2} - is</math> (also <math> s = {\textstyle \frac12 + it}</math>) hervor:

:<math>\Xi(t) = \xi({\textstyle\frac12 + i t}) = -\frac{t^2 + \frac14}{2\sqrt\pi^{1/2+it}}\ \Gamma\left({\textstyle \frac14 + \frac{it}{2}}\right) \zeta\left({\textstyle \frac12 + it}\right)</math>

Die [[Riemannsche Vermutung]] ist äquivalent zu der Aussage, dass alle Nullstellen von <math>\Xi</math> [[Reelle Zahl|reell]] sind.

Bemerkenswerterweise verwendete Riemann selber den Buchstaben <math>\xi</math> zur Bezeichnung derjenigen Funktion, die man heute (nach [[Edmund Landau|Landau]]) mit <math>\Xi</math> bezeichnet; die Ursache für diese zunächst verwirrende Symbolik liegt offenbar in einem Fehler Riemanns,<ref name="Edwards-2001-1.16">Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)</ref> der aber keinerlei Auswirkungen auf die Aussagen seines Artikels hat.

== Analytische Fortsetzung ==
Für die modifizierte Funktion <math> \xi_{*}(s) := \pi^{-s/2} \ \Gamma\left(\tfrac{s}{2}\right) \zeta(s) </math> leitet man zunächst für <math> 1>\operatorname{Re}(s)>0 </math> die folgende Integraldarstellung her:

:<math> \xi_{*}(s) = \int \limits_{0}^{\infty} \left(e^{su} + e^{(1-s)u}\right) \cdot \left(\vartheta(e^{2u}) - 1\right) \cdot \mathrm du + \frac{1}{(s-1)} - \frac{1}{s}</math>

Hierbei ist <math> \vartheta(y) := \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 y} </math> der Thetanullwert der [[Thetafunktion]].
Dies liefert die meromorphe Fortsetzung auf die komplexe Ebene mit einfachen Polen in 1 und 0.
[[Multiplikation]] mit dem Faktor <math>s (s-1)</math> ergibt die gewünschte [[analytische Fortsetzung]] auf ganz <math> \mathbb{C} </math>.

== Eigenschaften ==
=== Spezielle Werte ===
Es gilt:

:<math>\xi(0) = \xi(1) = - \zeta(0) = \frac12</math>

:<math>\xi(1/2) = -\zeta(1/2) \cdot \frac{\Gamma(1/4)}{8\pi^\frac14} = 0{,}4971207781\dots</math> (Minimum im reellwertigen [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]], {{OEIS|A114720}})

:<math>\xi(3) = \frac{3}{2\pi} \, \zeta(3)</math>

:<math>\xi(5) = \frac{15}{2\pi^2} \, \zeta(5)</math>

Für gerade [[natürliche Zahl]]en gilt

:<math>\xi(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!} \over {(2n)!}} \qquad (n = 1, 2, 3, 4, \dots),</math>

wobei <math>B_{2n}</math> die <math>2n</math>-te [[Bernoulli-Zahl]] bezeichnet. Aus dieser Darstellung ergeben sich unter anderem die Werte:

:<math>\xi(2) = \frac{\zeta(2)}{\pi} = \frac{\pi}{6}</math>

:<math>\xi(4) = \frac{6}{\pi^2} \, \zeta(4) = \frac{\pi^2}{15}</math>

=== Funktionalgleichung ===
Die Xi-Funktion genügt der [[Funktionalgleichung]] („Reflexionsformel“)

:<math>\xi(1-s)=\xi(s)</math>

oder äquivalent dazu für die <math>\Xi</math>-Funktion:

:<math>\Xi(-t)=\Xi(t)</math>

<math>\Xi</math> ist damit eine [[gerade Funktion]].

=== Produktdarstellung ===
:<math>\xi(s) = \frac{1}{2} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)</math>

wobei <math>\rho</math> in der Produktformel über alle Nullstellen von <math>\xi</math> läuft.<ref name="Edwards-2001-2.1">Edwards (2001) §2.1 (S. 39)</ref>

=== Summendarstellung ===
Aus der meromorphen Fortsetzung der modifizierten Funktion <math> \xi_{*}(s) </math> folgt auch für alle <math>t</math> aus <math>\mathbb{C} \setminus \left\{-\tfrac{i}{2}, \tfrac{i}{2}\right\}</math> die Summendarstellung
:<math> \xi_{*}\left(\frac{1}{2} + it\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(E_{\frac{3}{4} + \frac{ti}{2}}(\pi n^2) + E_{\frac{3}{4} - \frac{ti}{2}}(\pi n^2)\right) - \frac{4}{(4 t^2 + 1)}</math>
mit der verallgemeinerten [[Integralexponentialfunktion]] <math> E_{s}(x) := \int \limits_{1}^{\infty} \frac{e^{-xt}}{t^{s}} \ \mathrm dt</math>.

=== Beziehung zur Riemann-Siegelschen Z-Funktion ===
Es gilt<ref name="Titchmarsh-1986-4.17">Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)</ref>

:<math>Z(t) = -\frac{2 \pi^{1/4}}{\left(t^2 + \frac14\right)\,\left|\Gamma(\frac14 + \frac12 it)\right|}\ \Xi(t).</math>

=== Asymptotisches Verhalten ===
Für reelle Werte von <math>s</math> gilt<ref name="Titchmarsh-1986-2.12">Titchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)</ref>

:<math> \ln \xi(s) = \Theta\left(\frac12 s \ln s\right)</math> für <math>s \in \mathbb{R}, s\to\infty,</math>

also

:<math> \xi(s) = \Theta\left(\sqrt{s}^{\,s}\right)</math>

(wobei <math>\Theta</math> und anschließend auch <math>\mathcal{O}</math> [[Landau-Symbol]]e bezeichnen). Entsprechend gilt für reelle Werte von <math>t\colon</math><ref name="Titchmarsh-1986-10.2">Titchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)</ref>

:<math> \Xi(t) = \xi\left(\frac12 + it\right) = \mathcal{O}\left(t^{1/4} e^{-\pi t/4}\right)</math> für <math>t \in \mathbb{R}, t\to\infty</math>

=== Li-Koeffizienten ===
Die Xi-Funktion <math>\xi</math> hat eine enge Beziehung zu den sogenannten ''Li-Koeffizienten''

:<math>\lambda_{n} = \sum_\rho \left[1 - \left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right],</math>

wobei sich die Summe über die Nullstellen <math>\rho</math> von <math>\xi</math> erstreckt; denn es gelten die Beziehungen<ref name="Lagarias-2004">Lagarias (2004)</ref>

:<math>\lambda_{n} = \frac{1}{(n-1)!}\ \left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}s^n}\ \left[s^{n-1} \ln \xi(s)\right]\right|_{s=1}
\qquad (n \geqq 1)</math>

und

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln \xi \left(\frac{z}{z-1}\right)
= \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n.</math>

Das [[Li’sches Kriterium|lische Kriterium]] ist die Eigenschaft <math>\lambda_n >0 </math> für alle positiven <math>n</math>. Es ist äquivalent zur [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]].

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=H. M. Edwards
|Titel=Riemann’s Zeta Function
|Verlag=Dover Publications
|Ort=Mineola, NY
|Datum=2001
|ISBN=0-486-41740-9}}
* {{cite journal
| author=J. C. Lagarias
| title=Li coefficients for automorphic L-functions
| journal=Mathematics
| year=2004
| arxiv=math.MG/0404394}}
* {{cite journal
| author=[[Bernhard Riemann|B. Riemann]]
| title=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe
| journal=Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
| year=1859}}
* {{Literatur |Autor=[[Edward Charles Titchmarsh|E. C. Titchmarsh]]
|Titel=The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition
|Verlag=Oxford University Press
|Datum=1986
|ISBN=0-19-853369-1}}

== Weblinks ==
{{Wikisource|Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe}}
* {{MathWorld|Xi-Function|Xi Function}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]

Riemannsche Xi-Funktion - Versionsgeschichte

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