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2021-08-24T00:34:37Z

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Als '''Riemann-Problem''' (nach [[Bernhard Riemann]] (1826–1866)) wird in der [[Analysis]] ein spezielles [[Anfangswertproblem]] bezeichnet, bei dem die Anfangsdaten als konstant definiert werden, bis auf einen Punkt, in dem sie [[unstetig]] sind.

Riemann-Probleme sind hilfreich für das Verständnis [[Hyperbolische partielle Differentialgleichung|hyperbolischer partieller Differentialgleichungen]], da in ihnen alle Phänomene wie [[Stoßwelle|Schocks]], [[Verdichtungsstoß|Verdichtungsstöße]] oder [[Verdünnungswelle]]n auftauchen. Es sind auch für komplizierte nichtlineare Gleichungen wie die [[Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]] exakte Lösungen konstruierbar, was nicht für beliebige Anfangsdaten möglich ist.

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] tauchen Riemann-Probleme in natürlicher Weise in [[Finite-Volumen-Verfahren]] zur Lösung von [[Erhaltungsgleichung]]en auf. Dort werden die Riemann-Probleme [[Approximation|approximativ]] mittels sogenannter [[Riemann-Löser]] angegangen.

== Erhaltungsgleichung ==
Als wichtige [[hyperbolische partielle Differentialgleichung]] kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:
:<math>
\begin{align}
\partial_t U + \partial_x F(U) &= 0 \\
U(x,0) &= U_0(x)
\end{align}
</math>
Dabei gilt <math>U\colon\R \times \R^+ \to \R^n</math> und <math>F\colon\R^n \to \R^n</math>.

Beim Riemann-Problem gilt für den Anfangswert:
:<math>
\begin{align}
U_0(x) =
\begin{cases}
U_L, \quad x<0 \\
U_R, \quad x>0
\end{cases}
\end{align}
</math>
für <math>U_L, U_R \in \R^n</math>.

=== Linearer Fluss ===
Für den linearen Fluss
:<math>
\begin{align}
F(U) = AU, \quad A \in \R^{n \times n}
\end{align}
</math>
lässt sich die analytische Lösung berechnen.
Für ein hyperbolisches Problem ist die Matrix <math>A</math> stets diagonalisierbar:
:<math>
TAT^{-1} = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dotsc, \lambda_n)
</math>
mit einer Basistransformationsmatrix <math>T \in \R^{n \times n}</math>.

Mit der Transformation <math>W := T^{-1}U</math> kann man die [[PDGL]] entkoppeln:
:<math>
\begin{align}
&\left\lbrace
\begin{align}
\partial_t U + A \partial_x U &= 0 \\
U(x,0) &= U_0(x)
\end{align} \right. \\
\Leftrightarrow
&\left\lbrace
\begin{align}
\partial_t W + \Lambda \partial_x W &= 0 \\
W(x,0) &= W_0(x) := T^{-1}U_0(x)
\end{align} \right.
\end{align}
</math>
Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der <math>i</math>-ten Zeile der PDGL nur noch Ableitungen von <math>W_i</math> vorkommen.

Jede einzelne Gleichung entspricht einer [[Partielle Differentialgleichung#Einführung|linearen, skalaren Transportgleichung]] und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:
:<math>
W_i(x,t) = (W_0)_i(x-\lambda_i t).
</math>

Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:
:<math>
U(x,t) = T W(x,t).
</math>

Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:
:<math>
U_R-U_L = \sum_{j=1}^n \alpha_j t_j \quad \text{mit } \alpha_j \in \R,
</math>
wobei die <math>t_j \in \R^n</math> die Eigenvektoren von <math>A</math> sind (also: <math>T=(t_1, \dotsc, t_n)</math>).
Nun ist die Lösung so gegeben:
:<math>
U(x,t) = U_L + \sum_{\lambda_j < \frac{x}{t}} \alpha_j t_j
= U_R - \sum_{\lambda_j > \frac{x}{t}} \alpha_j t_j
</math>

== Literatur ==
* Eleuterio F. Toro: ''Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics'', Springer Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-65966-8.
* Randall J. LeVeque: ''Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems'', Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-81087-6.

{{SORTIERUNG:Riemannproblem}}

[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]

Riemann-Problem - Versionsgeschichte

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