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2025-12-12T11:11:43Z

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In der Mathematik ist der '''Ricci-Fluss''' (nach der nach [[Gregorio Ricci-Curbastro]] benannten [[Ricci-Krümmung]]) eine [[Deformation (Mathematik)|Deformation]] einer [[glatte Mannigfaltigkeit|glatten]] [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>(M,g)</math> und [[geometrischer Fluss]] auf der [[riemannsche Metrik|Metrik]] <math>g</math>. Der Ricci-Fluss ist die quasilineare [[partielle Differentialgleichung]]
:<math>\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t),\quad t\in (a,b)</math>,
wobei <math>\operatorname{Ric}(t)</math> der [[Riemannscher Krümmungstensor#Ricci-Tensor|Ricci-Tensor]] bezüglich der Metrik <math>g(t)</math> ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist <math>M</math> für jedes <math>t</math> eine Metrik aus der Familie <math>\{g(t)\}_{t\in (a,b)}</math> zu, welche die Gleichung löst.<ref>{{Literatur |Autor=Richard S. Hamilton |Titel=Three-manifolds with positive Ricci curvature |Sammelwerk=Journal of Differential Geometry |Band=17 |Nummer=2 |Datum=1982 |ISSN=0022-040X |DOI=10.4310/jdg/1214436922 |Seiten=255–306 |Online=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214436922 |Abruf=2019-03-12}}</ref>

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung positiv ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie negativ ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine [[Wärme]]verteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (das heißt Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten|Geometrisierungs-Vermutung]] von 3-Mannigfaltigkeiten durch [[Grigori Perelman]].

== Mathematische Eigenschaften ==
Der Ricci-Fluss ist ein Beispiel für eine [[Flussgleichung]] oder [[Evolutionsgleichung]] auf einer Mannigfaltigkeit. Andere Flussgleichungen, die nach einem ähnlichen Prinzip definiert sind, sind
* der [[Mittlerer Krümmungsfluss|mittlere Krümmungsfluss]] für eingebettete Mannigfaltigkeiten
* der [[Harmonischer Abbildungs-Fluss|harmonische Abbildungs-Fluss]]
* der [[Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsfluss]].

Die Ricci-Gleichung selbst ist eine ''quasi-[[parabolische partielle Differentialgleichung]] 2. Ordnung''.

Äquivalent zum Ricci-Fluss ist der ''normalisierte Ricci-Fluss'', der die Gleichung
:<math>\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t) + 2r(t)g(t)</math>
löst. Durch den Korrekturterm <math>r(t)</math>, der die durchschnittliche [[Riemannscher Krümmungstensor|Skalarkrümmung]] zur Zeit <math>t</math> angibt, wird erreicht, dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt. Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci-Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit. Beispielsweise bleibt eine runde <math>n</math>-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] unter dem normalisierten Fluss konstant, während sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft.

== Resultate ==
=== Eindeutigkeit ===
[[Richard S. Hamilton]] hat gezeigt, dass für eine abgeschlossene Riemannsche <math>C^{\infty}</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit <math>C^{\infty}</math>-Anfangsmetrik <math>g_0</math> der Ricci-Fluss auf <math>M</math> eine gewisse Zeit lang existiert, d. h. die Ricci-Gleichung besitzt eine eindeutige <math>C^{\infty}</math>-Lösung <math>g(t)</math> für ein kleines Zeitintervall <math>[0,t_0), t_0\in (0,\infty]</math> mit <math>g(0)=g_0</math>. Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

=== 3-Mannigfaltigkeit besitzt Metrik mit konstanter positiver Schnittkrümmung ===

Für eine glatte kompakte 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit einer Riemannschen Metrik <math>g_0</math> mit positiver Ricci-Krümmung konnte Hamilton außerdem zeigen, dass der Ricci-Fluss auf <math>M</math> zu einer Metrik konstanter positiver [[Schnittkrümmung]] konvergiert.

Es folgt daraus, dass die 3-Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

=== Ricci-Fluss mit Chirurgie ===
Hamilton verwendete 1997 einen [[Chirurgie (Mathematik)|chirurgisch]]-modifizierten Ricci-Fluss um 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit positiver isotropischer Krümmung zu klassifizieren (''Ricci-Fluss mit Chirurgie'', Ricci flow with surgery)<ref>{{Literatur|Autor=R.S.Hamilton|Titel=Four-manifolds with positive isotropic curvature|Sammelwerk=Commun. Anal. Geom.|Band=5|Datum=1997|Seiten=1-92}}</ref>: Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

[[Grigori Perelman]] verwendete eine ähnliche Methode für den 3-dimensionalen Fall ohne Voraussetzungen und bewies dadurch die [[Poincaré-Vermutung]].

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur/Weblinks ==
* Bennet Chow, Dan Knopf: ''The Ricci flow: an introduction'', AMS, 2004 (englisch), ISBN 0-8218-3515-7.
* Michael T. Anderson: [http://www.ams.org/notices/200402/fea-anderson.pdf ''Geometrization of 3-Manifolds via the Ricci Flow''] (PDF; 150 kB), Notices of the AMS, 2004 (englisch). Überblick über Perelmans Beweis und den Ricci-Fluss
* Grisha Perelman: [https://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ''The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications''], Preprint 2002 (englisch)
* Grisha Perelman: [https://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ''Ricci flow with surgery on three-manifolds''], Preprint 2003 (englisch)
* Bruce Kleiner, John Lott: [http://math.berkeley.edu/~lott/ricciflow/perelman.html ''Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers''] (englisch), umfangreiche Materialsammlung zum Ricci-Fluss und zu Perelmans Beweis.
* J. Rubinstein, R. Sinclair: ''[[arxiv:math/0406189|Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution]]'' (PDF; 2,7 MB), 2004 (englisch), Bilder vom Ricci-Fluss auf Rotationsflächen (ab Seite 8).
* Richard Bamler: [https://www.ams.org/journals/notices/202109/rnoti-p1486.pdf?adat=October%202021&trk=2343&cat=feature&galt=none Recent developments in Ricci flows], Notices of the AMS 68, 1486–1498 (2021).

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]

Ricci-Fluss - Versionsgeschichte

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