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2024-11-01T21:31:30Z

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Ein '''Rhomboeder''' ist ein [[Polyeder]], das von sechs [[Raute]]n begrenzt ist. Es ist ein [[Parallelepiped]] mit gleich langen Kanten und drei gleichen [[Innenwinkel]]n an zwei gegenüber liegenden [[Ecke]]n.

== Formeln ==
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Rhomboeders mit der Kantenlänge ''a'' und dem Innenwinkel <math>\theta</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = a^3 \cdot (1 - \cos(\theta)) \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)}</math>
| rowspan="13" |[[Datei:Rhombohedron.svg|rahmenlos]]
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A = 6 \cdot a^2 \cdot \sin(\theta) </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel]]radius'''
|<math>r_i = \frac{h}{2} = a \cdot \frac{1 - \cos(\theta)}{2 \cdot \sin(\theta)} \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'''
|<math>h = a \cdot \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)}</math>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diagonale (Geometrie)|Raumdiagonalen]]'''<ref>Stack Exchange: [https://math.stackexchange.com/questions/3409450/formula-for-length-of-the-diagonal-of-a-parallelepiped Formula for length of the diagonal of a parallelepiped]</ref>
|<math>d_1 = a \cdot \sqrt{3 + 6 \cdot \cos(\theta)}</math>
|-
|<math>d_2 = a \cdot \sqrt{3 - 2 \cdot \cos(\theta)}</math>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |'''Flächendiagonalen'''
|<math>e = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
|-
|<math>f = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Inkugelvolumen zu Volumen'''
|<math>\frac{V_{IK}}{V} = \frac{\pi \cdot (1 - 3 \cdot \cos^2(\theta) + 2 \cdot \cos^3(\theta))}{6 \cdot \sin^3(\theta)} </math>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen'''
'''benachbarten Flächen'''
|<math> \beta_1 = 180^\circ - \beta_2 = \frac{\Omega_1 + \Omega_2}{2} = \arccos \left(1 - \frac{1}{1 + \cos(\theta)}\right) </math>
|-
|<math> \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 = \Omega_2 = \arccos \left(\frac{1}{1 + \cos(\theta)} - 1\right) </math>
|-
| rowspan="2" class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan^3\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)</math>
|-
|<math>\Omega_2 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\cot\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)</math>
|}

=== Volumen ===
Das [[Volumen]] des Rhomboeders kann mithilfe der [[Formel]] für das Volumen des [[Parallelepiped]]s berechnet werden (siehe ''[[Parallelepiped#Volumen|Parallelepiped - Volumen]]''). Für das Rhomboeder sind alle Kanten gleich lang und die 3 [[Innenwinkel]] zwischen den Kanten gleich, also gilt <math>a = b = c</math> und <math>\alpha = \beta = \gamma = \theta</math>. Daraus ergibt sich das Volumen
:<math>\begin{align}
V &= a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)}
\\ &= a^3 \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \cos^2(\theta) + 2 \cdot \cos^3(\theta)}
\\ &= a^3 \cdot \sqrt{(1 - \cos(\theta))^2 \cdot (1 + 2 \cdot \cos(\theta))}
\\ &= a^3 \cdot (1 - \cos(\theta)) \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)}
\end{align}
</math>

=== Flächenwinkel ===
Für zwei gegenüber liegenden [[Ecke]]n des Rhomboeders sind die 3 anliegenden [[Innenwinkel]] der [[raute]]nförmigen [[Seitenfläche]]n gleich. Eine solche Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein [[Tetraeder]]. Betrachtet man die [[Umkugel]] dieses Tetraeders, dann gilt nach dem [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] die [[Gleichung]]
: <math>\cos(\theta) = \cos(\theta) \cdot \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\beta_1)</math>
Dabei sind <math>\theta</math> die Innenwinkel und <math>\beta_1</math> die [[Flächenwinkel]] zwischen diesen Seitenflächen.

Daraus folgt
: <math>\beta_1 = \arccos \left(\frac{\cos(\theta) - \cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}\right) = \arccos \left(\frac{\cos(\theta) \cdot (1 - \cos(\theta))}{1 - \cos^2(\theta)}\right) = \arccos \left(1 - \frac{1}{1 + \cos(\theta)}\right)</math>
Für die sechs anderen Ecken des Rhomboeders sind die anliegenden Innenwinkel gleich <math>\theta</math>, <math>180^\circ - \theta</math> und <math>180^\circ - \theta</math>. Betrachtet man die Umkugel des entsprechenden Tetraeders, dann gilt nach dem [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] die Gleichung
: <math>\cos(180^\circ - \theta) = \cos(\theta) \cdot \cos(180^\circ - \theta) + \sin(\theta) \cdot \sin(180^\circ - \theta) \cdot \cos(\beta_2)</math>
Dabei sind <math>\beta_2</math> die Flächenwinkel zwischen den Seitenflächen mit den Innenwinkeln <math>\theta</math> und <math>180^\circ - \theta</math>.

Daraus folgt
: <math>\beta_2 = \arccos \left(\frac{\cos(\theta) - \cos(\theta) \cdot \cos(180^\circ - \theta)}{\sin(\theta) \cdot \sin(180^\circ - \theta)}\right) = \arccos \left(\frac{\cos(\theta) \cdot (\cos(\theta) - 1)}{1 - \cos^2(\theta)}\right) = \arccos \left(\frac{1}{1 + \cos(\theta)} - 1\right)</math>

Wegen <math>\cos(\beta_1) = -\cos(\beta_2)</math> gilt <math>\beta_1 + \beta_2 = 180^\circ </math>.<ref>Stack Exchange: [https://math.stackexchange.com/questions/314970/dihedral-angles-between-tetrahedron-faces-from-triangles-angles-at-the-tip Dihedral angles between tetrahedron faces from triangles' angles at the tip]</ref><ref>{{Cite journal|title=The Trigonometry of the Tetrahedron|journal=The Mathematical Gazette|date=1902-03-01|pages=149–158|volume=2|issue=32|doi=10.2307/3603090|first=G.|last=Richardson|url=https://zenodo.org/record/1449743}}</ref>

=== Raumwinkel ===
Der [[Raumwinkel]] in der [[Ecke]] eines [[Polyeder]]s kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html Spherical Excess]</ref>

Für die zwei gegenüber liegenden Ecken des Rhomboeders mit den 3 gleichen [[Innenwinkel]]n <math>\theta</math> ergibt sich der Raumwinkel
:<math>\begin{align}
\Omega_1 &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\theta_s}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta}{2}\right) \cdot \tan\left( \frac{\theta_s - \theta}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta}{2}\right)}\right)
\\ &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan^3\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)
\end{align}</math>
weil in diesem Fall <math>\theta_s = \frac{\theta + \theta + \theta}{2} = \frac{3 \cdot \theta}{2}</math> ist.

Für die sechs anderen Ecken mit den anliegenden Innenwinkeln <math>\theta</math>, <math>180^\circ - \theta</math> und <math>180^\circ - \theta</math> ergibt sich der Raumwinkel
:<math>\begin{align}
\Omega_2 &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\theta_s}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta}{2}\right) \cdot \tan\left( \frac{\theta_s - (180^\circ - \theta)}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - (180^\circ - \theta)}{2}\right)}\right)
\\ &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(90^\circ - \frac{\theta}{4}\right) \cdot \tan\left(90^\circ - \frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan^2\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)
\\ &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\cot\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)
\end{align}</math>
wobei in diesem Fall <math>\theta_s = \frac{\theta + (180^\circ - \theta) + (180^\circ - \theta)}{2} = 180^\circ - \frac{\theta}{2}</math> ist.

== Raumfüllung mit Rhomboedern ==
Der [[dreidimensional]]e [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] kann lückenlos mit [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Rhomboedern ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen [[Parkettierung]]en werden ''[[Raumfüllung]]'' genannt.

Diese Raumfüllung aus Rhomboedern bildet ein [[Gitter (Geometrie)|Gitter]]. Es entspricht dem [[Trigonales Kristallsystem|trigonalen Kristallsystem]] in der [[Kristallographie]].

Dieses Gitter enthält [[Parallel (Geometrie)|parallele]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]. Deshalb ergeben die [[Flächenwinkel]] <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zusammen 180°. Die im Gitter benachbarten [[Raumwinkel]] <math> \Omega_1 </math> und <math> \Omega_2 </math> entsprechen zusammen dem Flächenwinkel <math> \beta_1 </math>. Der volle Flächenwinkel beträgt <math>2 \cdot \pi</math> und der volle Raumwinkel beträgt <math>4 \cdot \pi\ \mathrm{sr}</math>. Daher gilt <math> \beta_1 = \frac{\Omega_1 + \Omega_2}{2} </math>.

Außerdem sind im Gitter 2 gleiche Raumwinkel <math> \Omega_2 </math> benachbart und entsprechen zusammen dem Flächenwinkel <math> \beta_2 </math>. Daher gilt <math> \beta_2 = \Omega_2 </math>.

== Anwendungen ==
[[Datei:2-gold Rhomboeder.gif|mini|Längliche und abgeflachte Rhomboeder]]
[[Datei:Dürer Melancholia I.jpg|mini|''Melencolia I'', Kupferstich (1514)]]
=== Kunst und Natur ===

* [[Albrecht Dürer]] stellt in seiner teils mathematisch inspirierten Grafik [[Melencolia I]] ein [[Dürer-Polyeder|speziell beschnittenes Rhomboeder]] dar, das durch diese Modifikation mit all seinen Eckpunkten auf einer Kugelfläche liegen würde.
* [[M. C. Escher|Maurits Cornelis Escher]] nutzte bei seinen unmöglichen Figuren bei Vorbetrachtungen und Strukturentwicklung auch verschiedene Rhomboeder.

=== Kristallographie ===

Das Rhomboeder findet sich in der Natur als [[Kristallform]] und auf atomarer Ebene in [[Kristallstruktur]]en wieder. Es ist die allgemeine Flächenform der ''rhomboedrischen [[Kristallklasse]]'' (''{{overline|3}}''), eine Grenzform der trigonal-trapezoedrischen (''32'') und eine spezielle Form der ditrigonal-skalenoedrischen Kristallklasse (''{{overline|3}}m''). Außerdem ist es die Grundform des rhomboedrischen [[Bravais-Gitter]]s. Das Rhomboeder als Kristallform gibt es nur im [[Trigonales Kristallsystem|trigonalen Kristallsystem]].

Zum Beispiel [[kristallisieren]] die [[Mineral]]ien [[Amethyst]], [[Hämatit]], [[Calcit]] und [[Dolomit (Mineral)|Dolomit]] im trigonalen Kristallsystem.

<gallery mode="packed">
Datei:Dolomite-Magnésite- Navarre.jpg|[[Dolomit (Mineral)|Dolomit]] (weiß)
Datei:Calcite 3.jpg|Calcit<ref>aus Augsburg Naturmuseum, gefunden Goslerwand, Osttirol</ref>
Datei:9106 - Milano - Museo storia naturale - Calcite - Foto Giovanni Dall'Orto 22-Apr-2007.jpg|[[Calcit]]-Kristall<ref>Museo civico di storia naturale a Milano, Fundort Kasachstan</ref>
Datei:Calcite jaune (Chine).jpg|Gelber Calcit<ref>Fundort China: rhombeoedrischer gelber transparenter Kristall: Calcite jaune</ref>
Datei:Calcite 1 6.png|Rhomboedrische Kristalle<ref>Illustration aus Encyclopædia Britannica (1911), article CALCITE.</ref>
</gallery>

=== Das Farben-Rhomboeder ===

Das Farben-Rhomboeder erfüllt nach [[Harald Küppers]] die geometrische Lösung für seine [[Farbenlehre#Harald Küppers|Farbenlehre]]. Jeder Punkt innerhalb des [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpers]] entspricht einer [[Farbvalenz]]. Das heißt, jeder dieser Farbpunkte ist durch seine drei [[Vektor]]en-Potentiale definiert.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.uni-bielefeld.de/lili/kumu/farbenlehre-kueppers/de/theorie33.html |wayback=20120126035707 |text=Küppers' Farbenlehre }}</ref> Durch Stauchung und Verzerrung lässt sich das [[Farbraum|Farben-Rhomboeder]] in einen [[RGB-Farbraum|RGB-]] oder einen CYM-[[Farbraum]] umwandeln, naturgemäß mit anderen Verhältnissen zwischen den Farbwerten.

Ein Rhomboeder, bei dem die kurze [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] der Außenflächen so lang wie die Kante des Rhomboeders ist, stellt ein [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisches]] [[Parallelepiped]] dar. Es stehen jeweils zwei Außenflächen einander [[Parallel (Geometrie)|parallel]] gegenüber. Jede [[raute]]nförmige Außenfläche besteht aus zwei [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]]. Zerschneidet man ein Rhomboeder entlang der kurzen Diagonalen der Außenflächen, ergeben sich drei Teile: zwei [[Tetraeder]] und ein [[Oktaeder]]. Diese drei geometrischen Körper sind wiederum völlig symmetrisch. Sämtliche Außenflächen dieser drei neuen geometrischen Körper sind gleichseitige Dreiecke.

<gallery widths="150" heights="150" style="text-align:center" caption="[[Harald Küppers#Küppers’ Farbenlehre|Küppers' Farbrhomboeder]]">
Farbrhomboeder.svg|Farbkörper nach Harald Küppers
RhomboederSchnitt.svg|Anmerkenswerte Schnitte
Rhomboeder-Neutralgrau.svg|Achsen, Diagonalen und Kanten<ref>W: weiß, S: schwarz, N: Neutralgrau, B→M→R→Y→G→C: sechs Buntfarben (blau, magenta, rot, gelb, grün, cyan)</ref>
</gallery>

== Siehe auch ==
* [[Quader]]
* [[Parallelepiped]]

== Weblinks ==

* [http://www.crystal-treasure.com/product_info.php/info/p2179_Blauer-Kalzit--Calcit--Rhomboeder.html Blauer Calcit Rhomboeder]
* [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/rhombenkoerper.html Rhombenkörper]
* {{MathWorld|Rhombohedron|Rhomboeder}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polyeder]]

Rhomboeder - Versionsgeschichte

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