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2025-09-20T03:11:19Z

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[[Datei:Rhombictriacontahedron.svg|mini|3D-Ansicht eines Rhombentriakontaeders ([[:Datei:Rhombictriacontahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Rhombic triacontahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Rhombentriakontaeders]]
[[Datei:Rhombictriacontahedron net.svg|mini|Netz eines Rhombentriakontaeders]]

Ein '''Rhombentriakontaeder''' ist ein [[catalanischer Körper]] und der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Ikosidodekaeder]]. Es ist auch der [[Hüllkörper]], der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines [[Dodekaeder]]s und [[Ikosaeder]]s beschrieben wird. Man erhält auch ein Rhombentriakontaeder, indem man gerade [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] auf ein Ikosaeder oder Dodekaeder aufsetzt, von denen je zwei Seitenflächen einander zu einer ergänzen.

Das Rhombentriakontaeder besitzt 30 [[Rhombus|rhombenförmige]] Flächen, 32 [[Ecke]]n und 60 [[Strecke (Geometrie)|Kanten]]. An 12 der Ecken grenzen 5 Kanten und an die übrigen 20 Ecken grenzen 3 Kanten an. Das Längenverhältnis der Diagonalen der Rhombenflächen entspricht exakt dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]].

== Verwandte Polyeder ==

<gallery>
Disdyakistriacontahedron.jpg|[[Hexakisikosaeder]]
Deltoidalhexecontahedron.jpg|[[Deltoidalhexakontaeder]]
</gallery>

Werden auf die 30 Begrenzungsflächen des Rhombentriakontaeders<ref name="a">Kantenlänge ''a''</ref> [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit den Flankenlängen <math>b</math> und <math>c \,(< b)</math> aufgesetzt, entsteht ein allgemeines [[Hexakisikosaeder]], sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

: <math> \frac{a}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}} \, 

* Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten <math>a</math> und <math>b</math> entsteht, wenn <math> b = \frac{a}{2} \, \left(3\sqrt{5} - 5\right) </math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem [[Deltoidalhexakontaeder]] mit den Kantenlängen <math>a</math> und <math>b</math>.

== Formeln ==

{| class="left toptextcells"
|width="45%"|

=== Für das Polyeder ===

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Rhombentriakontaeders<ref name="a" />
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math> V = 4 a^3 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math> A_O = 12 a^2 \sqrt{5} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math> \rho = a \, \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math> r = \, \frac{a}{5}\left(5 + \sqrt{5}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  = 144°'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{1}{4}\left(1 + \sqrt{5}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,96089'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {9\,\pi \left(5 + 2 \sqrt{5}\right)}} {3 \sqrt{5}} </math>
|}

|

=== Für die Rhomben ===

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen der Rhomben<ref name="a" />
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt]]'''
| <math> A = \frac{2}{5} a^2 \sqrt{5} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkreis]]radius'''
| <math> r = \frac{a}{5} \sqrt{5} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Lange Diagonale'''
| <math> e = a \, \sqrt{\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{5}} = \frac{f}{2}\left(1 + \sqrt{5}\right)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Kurze Diagonale'''
| <math> f = a \, \sqrt{\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Spitzer Winkel|Spitze Winkel]] (2)  ≈ 63° 26′ 6″'''
| <math> \cos \, \alpha = \frac{1}{5} \sqrt{5}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Stumpfer Winkel|Stumpfe Winkel]] (2)  ≈ 116° 33′ 54″'''
| <math> \cos \, \beta = -\frac{1}{5} \sqrt{5}</math>
|}
|}

== Anwendungen ==
* In [[Pen-&-Paper-Rollenspiel|Rollenspielen]] wird das Rhombentriakontaeder als [[Spielwürfel#Sonstige Polyeder|Würfel (W30)]] verwendet.

* Mit geeigneter Beschriftung der Flächen, z. B. je sechs Exemplaren der ersten fünf Standardwürfel-Punktanordnungen, kann das Rhombentriakontaeder als Karte der [[Alternierende Gruppe|alternierenden Gruppe]] <math>A_5</math> verwendet werden. Man betrachtet dabei eine senkrecht stehende Raute, sowie die rechts und links davon befindlichen je zwei anderen, als derzeitige [[Permutation]] und kann mittels Rotation um die rechte oder linke Dreiergruppe als Generatoren die gesamte Gruppe aufspannen.

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Rhombic triacontahedron|Rhombentriakontaeder}}
* {{MathWorld|RhombicTriacontahedron|Rhombentriakontaeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Rhombentriakontaeder - Versionsgeschichte

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