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2025-06-30T11:29:17Z

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{{Infobox Polyeder
|Name= Rhombenikosidodekaeder
|Bild= Rhombicosidodecahedron.jpg
|Bildtext= 3D-Ansicht eines Rhombenikosidodekaeders ([[:Datei:Rhombicosidodecahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 62
|Flächentyp= 20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke
|Ecken= 60
|Eckentyp= 60 × {3.4.5.4}
|Kanten= 120
|Symmetriegruppe= [[Ikosaedergruppe]] <math>I_h</math>
|Schläfli=
|Dual= [[Deltoidalhexakontaeder]]
|Netz= Rhombenikosidodekaedernetz.svg
|Netztext= [[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Rhombenikosidodekaeders
}}

[[Datei:P4-A11-P5.gif|links|mini|Ein Rhombenikosidodekaeder kann als expandiertes [[Dodekaeder]] oder expandiertes [[Ikosaeder]] betrachtet werden]]
[[Datei:Rhombenikosidodekaeder Rubik.svg|mini|Rhombenikosidodekaeder – in fünf Farben koloriert]]
[[Datei:Rhombicosidodecahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Rhombenikosidodekaeders]]
Das (kleine) '''Rhombenikosidodekaeder''' ist ein [[Polyeder]], das zu den [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] zählt. Es besteht aus 20 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]], 30 [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]], 12 [[Fünfeck#Regelmäßiges Fünfeck|regelmäßigen Fünfecken]] und 120 Kanten.

Jeweils zehn Kanten des Rhombenikosidodekaeders bilden ein [[Zehneck|regelmäßiges Zehneck]]. Insgesamt gibt es zwölf solcher unabhängiger, gleichseitiger Zehnecke in einem Rhombenikosidodekaeder.

Der zum Rhombenikosidodekaeder [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist das [[Deltoidalhexakontaeder]].

== Kartesische Koordinaten ==

Durch die geraden [[Permutation]]en von
:<math display="block">(\pm 1, \pm 1, \pm \Phi^3), \quad (\pm \Phi^2, \pm \Phi, \pm 2 \Phi), \quad (\pm (2 + \Phi), 0, \pm \Phi^2)</math>
erhält man die [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] der Ecken eines Rhombenikosidodekaeders mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2.
Dabei ist <math>\Phi = \tfrac{1}{2} (1 + \sqrt{5})</math> das Verhältnis des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]].

== Formeln ==

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Rhombenikosidodekaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math> V = \frac{a^3}{3} \left(60 + 29\sqrt{5} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math> A_O = a^2 \left(30+5\sqrt{3}+ 3\sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
| <math> R = \frac{a}{2} \sqrt{11+ 4\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math> r = \frac{a}{2} \sqrt{10+ 4\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Flächenwinkel]]  ([[Fünfeck|Pentagon]]–Quadrat)  ≈ 148° 16′ 57″'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{10}{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel  (Quadrat–[[Dreieck|Trigon]])  ≈ 159° 5′ 41″'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = -\frac{\sqrt{3}}{6}(1+\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken<nowiki />[[raumwinkel]]  ≈ 1,4153 π'''
| <math> \Omega = 2 \pi - \arccos \left(\frac{5 - 4 \sqrt{5}}{15}\right)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,97924'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {20\,\pi \left(1561 + 696 \sqrt{5}\right)}} {30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}} </math>
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Rhombicosidodecahedron|Rhombenikosidodekaeder}}
* {{MathWorld|SmallRhombicosidodecahedron|Rhombenikosidodekaeder}}

{{Navigationsleiste Archimedische Körper}}

[[Kategorie:Archimedischer Körper]]

Rhombenikosidodekaeder - Versionsgeschichte

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